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Theorem wallispi2lem2 27924
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 1 ) )
2 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  1 ) )
32oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) ) )
4 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
1 ) )
54oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )
63, 5oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
87fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) ) )
98oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) )
106, 9oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) )
111, 10eqeq12d 2310 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
12 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y ) )
13 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  y ) )
1413oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  y
) ) )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  y ) )
1615oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )
1714, 16oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) ) )
18 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
1918fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  y ) ) )
2019oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )
2117, 20oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) ) )
2212, 21eqeq12d 2310 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) ) )
23 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )
24 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
2524oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
26 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
2726oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
2825, 27oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
3029fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
3130oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
3228, 31oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
3323, 32eqeq12d 2310 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
34 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 N ) )
35 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  N ) )
3635oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  N
) ) )
37 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3837oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )
3936, 38oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) ) )
40 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
4140fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )
4241oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) )
4339, 42oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 ) ) )
4434, 43eqeq12d 2310 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
45 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
46 seq1 11075 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
) )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)
48 1nn 9773 . . . 4  |-  1  e.  NN
49 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
5049oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  1 ) ^
4 ) )
5149oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )
5249, 51oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
5450, 53oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
55 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
56 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  e. 
_V
5754, 55, 56fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
5848, 57ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
59 2cn 9832 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6059mulid1i 8855 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
6160oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 4 )
62 2exp4 13116 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
63 1nn0 9997 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
64 6nn0 10002 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
65 0nn0 9996 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
66 1t1e1 9886 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6766oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  ( 1  +  0 )
68 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6968addid1i 9015 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7067, 69eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  1
7164nn0cni 9993 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
7271mulid1i 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
7364dec0h 10156 . . . . . . . . . 10  |-  6  = ; 0 6
7473eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |- ; 0 6  =  6
7572, 74eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  1 )  = ; 0
6
7663, 63, 64, 62, 64, 65, 70, 75decmul1c 10187 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  = ; 1
6
7762, 76eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )
78 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  1  =  1
79 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
80 2t2e4 9887 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
81 sq1 11214 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8263, 79, 80, 81, 66numexp2x 13110 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 4 )  =  1
8378, 82eqtr4i 2319 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1 ^ 4 )
8483oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
1 ^ 4 ) )
85 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  4  =  4
86 4cn 9836 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
8786mulid1i 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8885, 87eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 4  x.  1 )
8988oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )
90 fac1 11308 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 1 )  =  1
9190eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( ! ` 
1 )
9291oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 4 )  =  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 )
9389, 92oveq12i 5886 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 1 ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9477, 84, 933eqtri 2320 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9561, 94eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9660oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
97 2m1e1 9857 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9896, 97eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
9998oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )
10060oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  ( 2  x.  1 )
101100, 60eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  2
10260fveq2i 5544 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  ( ! `  2
)
103 fac2 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 2 )  =  2
104102, 103eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  2
105104eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  2  =  ( ! `  ( 2  x.  1 ) )
10699, 101, 1053eqtri 2320 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) )
107106oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 )
10895, 107oveq12i 5886 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
10947, 58, 1083eqtri 2320 . 2  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
110 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
111110eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
112111biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
113112adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
114 seqp1 11077 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
115113, 114syl 15 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
116 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )
117116oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) ) )
118 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
119 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
120119oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
121119oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )
122119, 121oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) )
123122oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
124120, 123oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
125124adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
126 peano2nn 9774 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
12759a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
128 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
12968a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
130128, 129addcld 8870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
131127, 130mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
132 4nn0 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
133132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
134131, 133expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  e.  CC )
135131, 129subcld 9173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
136131, 135mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
137136sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
138 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
139138a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  e.  RR )
140 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  2 )
142139, 141jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
143 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  2 )  -> 
2  =/=  0 )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
145126nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  =/=  0 )
146127, 130, 144, 145mulne0d 9436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  0 )
147 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
148147a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
149 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
150149a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
151 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
152151, 148readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
153 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  2
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
155 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
156148, 155ltaddrp2d 10436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( y  +  1 ) )
157150, 152, 154, 156mulgt1d 9709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
158148, 157jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
159 ltne 8933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  -> 
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  =/=  1 )
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  1 )
161131, 129, 160subne0d 9182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
162131, 135, 146, 161mulne0d 9436 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  0 )
163 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
164163a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
165136, 162, 164expne0d 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
166134, 137, 165divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
167118, 125, 126, 166fvmptd 5622 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
168167oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
169 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
170133, 169nn0mulcld 10039 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  y )  e.  NN0 )
171127, 170expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  y ) )  e.  CC )
172 faccl 11314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 y )  e.  NN )
173 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  y )  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
174169, 172, 1733syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
175174, 133expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
) ^ 4 )  e.  CC )
176171, 175mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  e.  CC )
17779a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
178177, 169nn0mulcld 10039 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN0 )
179 faccl 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
180 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
181178, 179, 1803syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
182181sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  e.  CC )
183178, 179syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
184 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  =/=  0 )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  =/=  0 )
186181, 185, 164expne0d 11267 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
187176, 182, 134, 137, 186, 165divmuldivd 9593 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
188127, 130, 133mulexpd 11276 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
189188oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
190127, 133expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ 4 )  e.  CC )
191130, 133expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
192171, 175, 190, 191mul4d 9040 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y ) ^
4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
193174, 130, 133mulexpd 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
194193eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
195194oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
196189, 192, 1953eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
197181, 136, 177mulexpd 11276 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
198197eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^
2 ) )
199127, 128, 129adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
200199oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
201127, 128mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
20260, 127syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
203201, 202, 129addsubassd 9193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
20460a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
205204oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
20697a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
207205, 206eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1 )
208207oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
209200, 203, 2083eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
210209oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
211210oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
212201, 129addcld 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  CC )
213131, 212mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
214213oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
215181, 212, 131mulassd 8874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
216215eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
217211, 214, 2163eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
218217oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
219 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
220219a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
221220oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
222201, 129, 129addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
223222eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
224221, 223eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
225224fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
22663a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
227178, 226nn0addcld 10038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0 )
228 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
229227, 228syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
230 facp1 11309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
231178, 230syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
232220eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
233232oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
234232, 219, 603eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
235234oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
236235, 199eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
237222, 233, 2363eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
238231, 237oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
239225, 229, 2383eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
240239eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) )
241240oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
242198, 218, 2413eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
243196, 242oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
244187, 243eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
245127, 133, 170expaddd 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
246245eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) ) )
24788a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  4  =  ( 4  x.  1 ) )
248247oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  4 )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
249248oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) ) )
25086a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  CC )
251250, 128, 129adddid 8875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
252251eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  ( 4  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
253252oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
254246, 249, 2533eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
255 facp1 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) )
256169, 255syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) )
257256eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
258257oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
259254, 258oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
260236eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
261260fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  2 ) ) )
262261eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
263262oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
264259, 263oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
265168, 244, 2643eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
266265adantr 451 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
267115, 117, 2663eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
268267ex 423 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
26911, 22, 33, 44, 109, 268nnind 9780 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   4c4 9813   6c6 9815   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ;cdc 10140   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  wallispi2  27925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
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