Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem1 Unicode version

Theorem wallispilem1 27483
Description:  I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem1.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem1.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
wallispilem1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1
StepHypRef Expression
1 0re 9025 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 pire 20240 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 wallispilem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 peano2nn0 10193 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
8 iblioosinexp 27416 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
92, 4, 7, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
10 iblioosinexp 27416 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
112, 4, 5, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
12 elioore 10879 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1312resincld 12672 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
157adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
1614, 15reexpcld 11468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
175adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
1814, 17reexpcld 11468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  RR )
195nn0zd 10306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
20 uzid 10433 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
22 peano2uz 10463 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
2513, 1jctil 524 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR ) )
26 sinq12gt0 20283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
27 ltle 9097 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  x )  -> 
0  <_  ( sin `  x ) ) )
2825, 26, 27sylc 58 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
2928adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
30 sinbnd 12709 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3112, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3231simprd 450 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3332adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3414, 17, 24, 29, 33leexp2rd 11484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
359, 11, 16, 18, 34itgle 19569 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x  <_  S. (
0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
36 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( n  =  ( N  +  1 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
3837itgeq2dv 19541 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
39 wallispilem1.1 . . . 4  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
40 itgex 19530 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x  e.  _V
4138, 39, 40fvmpt 5746 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( N  + 
1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
427, 41syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x )
43 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
4443adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
4544itgeq2dv 19541 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
46 itgex 19530 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
4745, 39, 46fvmpt 5746 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
485, 47syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
4935, 42, 483brtr4d 4184 1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    < clt 9054    <_ cle 9055   -ucneg 9225   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   (,)cioo 10849   ^cexp 11310   sincsin 12594   picpi 12597   L ^1cibl 19377   S.citg 19378
This theorem is referenced by:  wallispilem5  27487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator