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Theorem wallispilem3 27794
Description: I maps to real values (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem3.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    N( x, n)

Proof of Theorem wallispilem3
Dummy variables  k  m  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  0 ) )
21imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( w  =  0  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
32ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( w  =  0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
4 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  y ) )
54imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
65ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
7 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  ( y  +  1 ) ) )
87imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
98ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
) )
10 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
m  <_  w  <->  m  <_  N ) )
1110imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( m  <_  w  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1211ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  w  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  A. m  e.  NN0  (
m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
13 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  <_  0 )
14 nn0ge0 10249 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
1514adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  <_  m )
16 nn0re 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
1716adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  e.  RR )
18 0re 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
0  e.  RR )
2017, 19letri3d 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( m  =  0  <-> 
( m  <_  0  /\  0  <_  m ) ) )
2113, 15, 20mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  ->  m  =  0 )
2221fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  =  ( I `
 0 ) )
23 wallispilem3.1 . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
2423wallispilem2 27793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  (
m  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  m )  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  (
m  -  2 ) ) ) ) )
2524simp1i 967 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 0 )  =  pi
26 pire 20374 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
27 pipos 20375 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
2826, 27elrpii 10617 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
2925, 28eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  ( I `
 0 )  e.  RR+
3022, 29syl6eqel 2526 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  0 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3130ex 425 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  0  ->  (
I `  m )  e.  RR+ ) )
3231rgen 2773 . . . 4  |-  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
0  ->  ( I `  m )  e.  RR+ )
33 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ m  y  e.  NN0
34 nfra1 2758 . . . . . . 7  |-  F/ m A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
3533, 34nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ m
( y  e.  NN0  /\ 
A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
36 simpllr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
37 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
38 rsp 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
3936, 37, 38sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
40 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  =  ( I ` 
1 ) )
4124simp2i 968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I `
 1 )  =  2
42 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR+
4341, 42eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I `
 1 )  e.  RR+
4440, 43syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
4624simp3i 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  m )  =  ( ( ( m  - 
1 )  /  m
)  x.  ( I `
 ( m  - 
2 ) ) ) )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  =  ( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  ( I `  ( m  -  2
) ) ) )
48 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( m  e.  NN  /\  1  < 
m ) )
4948simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  NN )
50 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
51 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5350, 52resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR )
55 1m1e0 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5651a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  RR )
57 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR )
5848simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  m )
5956, 57, 56, 58ltsub1dd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  -  1 )  < 
( m  -  1 ) )
6055, 59syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( m  -  1 ) )
6154, 60elrpd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  1 )  e.  RR+ )
6249nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  m  e.  RR+ )
6361, 62rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
m  -  1 )  /  m )  e.  RR+ )
6463adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( m  - 
1 )  /  m
)  e.  RR+ )
65 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
m  <_  y  <->  k  <_  y ) )
66 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  k  ->  (
I `  m )  =  ( I `  k ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  k  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
6865, 67imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  <_  y  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( k  <_  y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) ) )
6968cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  <->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
7069biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ ) )
7170ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )
)
72 uznn0sub 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( m  -  2 )  e. 
NN0 )
7372adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  e.  NN0 )
7471, 73jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A. k  e. 
NN0  ( k  <_ 
y  ->  ( I `  k )  e.  RR+ )  /\  ( m  - 
2 )  e.  NN0 ) )
75 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
76 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
77 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
78 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
7978oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  2 ) )
80 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
81803ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  RR )
8281recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
83 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
8584oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( ( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) ) )
86 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
87 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  CC  ->  1  e.  CC )
8986, 88, 88pnpcan2d 9451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( y  - 
1 ) )
9085, 89eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  - 
1 ) )
9182, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( y  +  1 )  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
9279, 91eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  =  ( y  -  1 ) )
9381lem1d 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( y  -  1 )  <_  y )
9492, 93eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
9575, 76, 77, 94syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( m  -  2 )  <_  y )
96 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
k  <_  y  <->  ( m  -  2 )  <_ 
y ) )
97 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
I `  k )  =  ( I `  ( m  -  2
) ) )
9897eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( I `  k
)  e.  RR+  <->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) )
9996, 98imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( m  - 
2 )  ->  (
( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  <->  ( ( m  -  2 )  <_  y  ->  ( I `  ( m  -  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
10099rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. k  e.  NN0  ( k  <_  y  ->  ( I `  k
)  e.  RR+ )  /\  ( m  -  2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( m  - 
2 )  <_  y  ->  ( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
)
10174, 95, 100sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  (
m  -  2 ) )  e.  RR+ )
10264, 101rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( m  -  1 )  /  m )  x.  (
I `  ( m  -  2 ) ) )  e.  RR+ )
10347, 102eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
104103adantllr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
105104ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
106 simplll 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
107 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
108 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
109 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
110 nn0p1nn 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e.  NN )
1111103ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( y  +  1 )  e.  NN )
112109, 111eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
113 elnnuz 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
114112, 113sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
115 uzp1 10521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) ) )
116 1p1e2 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
117116fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  2 )
118117eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) )  <->  m  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
119118orbi2i 507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  <->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
120115, 119sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( m  =  1  \/  m  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
121114, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
122106, 107, 108, 121syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  =  1  \/  m  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
12345, 105, 122mpjaod 372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
124123adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
125124ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
126 simplll 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
127 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
128 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
129 simpl2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
130 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
131 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  =  0 )
132 nn0ge0 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
133132adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  0  <_  y
)
134131, 133eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
1351343ad2antl1 1120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  0 )  ->  m  <_  y
)
136 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  NN0 )
137 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
138 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
139 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <  ( y  +  1 ) )
140 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
141 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN0 )
14218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  e.  RR )
143533ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
144803ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
145 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
146145nn0ge0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
1471463ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <_  ( m  -  1 ) )
148503ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
14951a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
150148, 149, 144ltsubaddd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
( m  -  1 )  <  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
151139, 150mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  -  1 )  <  y )
152142, 143, 144, 147, 151lelttrd 9230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  0  <  y )
153152gt0ne0d 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  =/=  0 )
154 elnnne0 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  <->  ( y  e.  NN0  /\  y  =/=  0 ) )
155141, 153, 154sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  NN )
156 nnleltp1 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
157140, 155, 156syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  <->  m  <  ( y  +  1 ) ) )
158139, 157mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
159136, 137, 138, 158syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  m  <_  y )
160 elnn0 10225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  <->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
161160biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  e.  NN  \/  m  =  0 ) )
162161orcomd 379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
1631623ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  =  0  \/  m  e.  NN ) )
164135, 159, 163mpjaodan 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  y )
165164orcd 383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
166128, 129, 130, 165syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  <  ( y  +  1 ) )  -> 
( m  <_  y  \/  m  =  (
y  +  1 ) ) )
167 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  m  =  ( y  +  1 ) )
168167olcd 384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  /\  m  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( m  <_ 
y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
169 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  <_  ( y  +  1 ) )
170163ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  m  e.  RR )
171803ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  y  e.  RR )
17251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  1  e.  RR )
173171, 172readdcld 9117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
174170, 173leloed 9218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  ( y  +  1 )  <->  ( m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) ) )
175169, 174mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <  ( y  +  1 )  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
176166, 168, 175mpjaodan 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  m  e.  NN0  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
177126, 37, 127, 176syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
m  <_  y  \/  m  =  ( y  +  1 ) ) )
17839, 125, 177mpjaod 372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
NN0  /\  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  ( y  +  1 ) )  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )
179178exp31 589 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  (
y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
18035, 179ralrimi 2789 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. m  e.  NN0  (
m  <_  y  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  ( y  +  1 )  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )
)
181180ex 425 . . . 4  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  y  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_ 
( y  +  1 )  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) ) )
1823, 6, 9, 12, 32, 181nn0ind 10368 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  ( I `  m )  e.  RR+ ) )
183182ancri 537 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  ->  (
I `  m )  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 ) )
184 nn0re 10232 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
185184leidd 9595 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_  N )
186 breq1 4217 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
m  <_  N  <->  N  <_  N ) )
187 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
I `  m )  =  ( I `  N ) )
188187eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( I `  m
)  e.  RR+  <->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
189186, 188imbi12d 313 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  <_  N  ->  ( I `  m
)  e.  RR+ )  <->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) ) )
190189rspccva 3053 . 2  |-  ( ( A. m  e.  NN0  ( m  <_  N  -> 
( I `  m
)  e.  RR+ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  N  ->  ( I `  N )  e.  RR+ ) )
191183, 185, 190sylc 59 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   ^cexp 11384   sincsin 12668   picpi 12671   S.citg 19512
This theorem is referenced by:  wallispilem4  27795  wallispilem5  27796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-itg2 19516  df-ibl 19517  df-itg 19518  df-0p 19564  df-limc 19755  df-dv 19756
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