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Theorem wdomtr 7291
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  X  ~<_*  Z )

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 7282 . . . . 5  |-  Rel  ~<_*
21brrelex2i 4732 . . . 4  |-  ( Y  ~<_*  Z  ->  Z  e.  _V )
32adantl 452 . . 3  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  Z  e.  _V )
4 0wdom 7286 . . . 4  |-  ( Z  e.  _V  ->  (/)  ~<_*  Z )
5 breq1 4028 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  ~<_*  Z 
<->  (/) 
~<_* 
Z ) )
64, 5syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( X  =  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
73, 6syl 15 . 2  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  ( X  =  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
8 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  ~<_*  Y )
9 brwdomn0 7285 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  (/)  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
109adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
118, 10mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. z 
z : Y -onto-> X
)
12 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  Y  ~<_*  Z )
13 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  X  =/=  (/) )
14 dm0rn0 4897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  z  =  (/)  <->  ran  z  =  (/) )
1514necon3bii 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  z  =/=  (/)  <->  ran  z  =/=  (/) )
1615a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( dom  z  =/=  (/)  <->  ran  z  =/=  (/) ) )
17 fof 5453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
z : Y --> X )
18 fdm 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z : Y --> X  ->  dom  z  =  Y
)
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  dom  z  =  Y
)
2019neeq1d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( dom  z  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
21 forn 5456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z : Y -onto-> X  ->  ran  z  =  X
)
2221neeq1d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( ran  z  =/=  (/)  <->  X  =/=  (/) ) )
2316, 20, 223bitr3rd 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z : Y -onto-> X  -> 
( X  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
2423adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( X  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) ) )
2513, 24mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  Y  =/=  (/) )
26 brwdomn0 7285 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =/=  (/)  ->  ( Y  ~<_*  Z  <->  E. y  y : Z -onto-> Y ) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( Y  ~<_*  Z  <->  E. y  y : Z -onto-> Y ) )
2812, 27mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  E. y 
y : Z -onto-> Y
)
29 vex 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
30 vex 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
3129, 30coex 5218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  o.  y )  e. 
_V
32 foco 5463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
)  ->  ( z  o.  y ) : Z -onto-> X )
33 fowdom 7287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  o.  y
)  e.  _V  /\  ( z  o.  y
) : Z -onto-> X
)  ->  X  ~<_*  Z )
3431, 32, 33sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
)  ->  X  ~<_*  Z )
3534adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  (
z : Y -onto-> X  /\  y : Z -onto-> Y
) )  ->  X  ~<_*  Z )
3635expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  (
y : Z -onto-> Y  ->  X  ~<_*  Z ) )
3736exlimdv 1666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  ( E. y  y : Z -onto-> Y  ->  X  ~<_*  Z
) )
3828, 37mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z )  /\  X  =/=  (/) )  /\  z : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Z )
3938ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( z : Y -onto-> X  ->  X  ~<_*  Z
) )
4039exlimdv 1666 . . . 4  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. z  z : Y -onto-> X  ->  X  ~<_*  Z ) )
4111, 40mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  ~<_*  Z )
4241ex 423 . 2  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  ( X  =/=  (/)  ->  X  ~<_*  Z ) )
437, 42pm2.61dne 2525 1  |-  ( ( X  ~<_*  Y  /\  Y  ~<_*  Z
)  ->  X  ~<_*  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   _Vcvv 2790   (/)c0 3457   class class class wbr 4025   dom cdm 4691   ran crn 4692    o. ccom 4695   -->wf 5253   -onto->wfo 5255    ~<_* cwdom 7273
This theorem is referenced by:  wdomen1  7292  wdomen2  7293  wdom2d  7296  wdomima2g  7302  unxpwdom2  7304  unxpwdom  7305  harwdom  7306  pwcdadom  7844  hsmexlem1  8054  hsmexlem4  8057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-fo 5263  df-wdom 7275
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