Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Unicode version

Theorem wdomtr 7535
 Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr * * *

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 7526 . . . . 5 *
21brrelex2i 4911 . . . 4 *
32adantl 453 . . 3 * *
4 0wdom 7530 . . . 4 *
5 breq1 4207 . . . 4 * *
64, 5syl5ibrcom 214 . . 3 *
73, 6syl 16 . 2 * * *
8 simpll 731 . . . . 5 * * *
9 brwdomn0 7529 . . . . . 6 *
109adantl 453 . . . . 5 * * *
118, 10mpbid 202 . . . 4 * *
12 simpllr 736 . . . . . 6 * * *
13 simplr 732 . . . . . . . 8 * *
14 dm0rn0 5078 . . . . . . . . . . . 12
1514necon3bii 2630 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10
17 fof 5645 . . . . . . . . . . . 12
18 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10
21 forn 5648 . . . . . . . . . . 11
2221neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10
2316, 20, 223bitr3rd 276 . . . . . . . . 9
2423adantl 453 . . . . . . . 8 * *
2513, 24mpbid 202 . . . . . . 7 * *
26 brwdomn0 7529 . . . . . . 7 *
2725, 26syl 16 . . . . . 6 * * *
2812, 27mpbid 202 . . . . 5 * *
29 vex 2951 . . . . . . . . . 10
30 vex 2951 . . . . . . . . . 10
3129, 30coex 5405 . . . . . . . . 9
32 foco 5655 . . . . . . . . 9
33 fowdom 7531 . . . . . . . . 9 *
3431, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . 8 *
3534adantl 453 . . . . . . 7 * * *
3635expr 599 . . . . . 6 * * *
3736exlimdv 1646 . . . . 5 * * *
3828, 37mpd 15 . . . 4 * * *
3911, 38exlimddv 1648 . . 3 * * *
4039ex 424 . 2 * * *
417, 40pm2.61dne 2675 1 * * *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948  c0 3620   class class class wbr 4204   cdm 4870   crn 4871   ccom 4874  wf 5442  wfo 5444   * cwdom 7517 This theorem is referenced by:  wdomen1  7536  wdomen2  7537  wdom2d  7540  wdomima2g  7546  unxpwdom2  7548  unxpwdom  7549  harwdom  7550  pwcdadom  8088  hsmexlem1  8298  hsmexlem4  8301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-wdom 7519
 Copyright terms: Public domain W3C validator