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Theorem wefrc 3982
Description: A non-empty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by  _E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
wefrc  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem wefrc
StepHypRef Expression
1 wess 3975 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  B ) )
2 n0 3119 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
3 ineq2 3021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( B  i^i  y
) )
43eqeq1d 2108 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( B  i^i  y )  =  (/) ) )
54rcla4ev 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( B  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
65ex 420 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
76adantl 447 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
8 inss1 3045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
9 wefr 3978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Fr  B )
10 vex 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1110inex2 3760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
1211epfrc 3974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
139, 12syl3an1 1179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
14133exp 1115 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  C_  B  ->  ( ( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
158, 14mpi 16 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
16 elin 3015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  i^i  y )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  y ) )
1716anbi1i 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
18 anass 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y
)  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  B  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
1917, 18bitri 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  (
x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
2019rexbii2 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
2115, 20syl6ib 215 . . . . . . . . 9  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2221adantr 446 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
23 elin 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( B  i^i  x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  x ) )
24 df-3an 902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B ) )
25 3anrot 905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
2624, 25bitr3i 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
27 wetrep 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  y ) )
2827exp3a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
2926, 28sylan2b 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  B ) )  -> 
( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
3029exp44 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) ) )
3130imp 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3231com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3332imp3a 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  e.  B  /\  z  e.  x )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3423, 33syl5bi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3534imp4a 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  y ) ) )
3635com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
z  e.  ( B  i^i  x )  -> 
z  e.  y ) ) )
3736ralrimdv 2391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y ) )
38 dfss3 2845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y )
3937, 38syl6ibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( B  i^i  x )  C_  y ) )
40 dfss 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x
)  i^i  y )
)
41 in32 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)
4241eqeq2i 2110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4340, 42bitri 238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4443biimpi 184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
) )
4544eqeq1d 2108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
4645biimprd 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
4739, 46syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
4847exp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) ) )
4948imp4a 568 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
5049reximdvai 2412 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
5122, 50syld 40 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
527, 51pm2.61dne 2293 . . . . . 6  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
5352ex 420 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
5453exlimdv 1793 . . . 4  |-  (  _E  We  B  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
552, 54syl5bi 206 . . 3  |-  (  _E  We  B  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
561, 55syl6com 31 . 2  |-  (  _E  We  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
57563imp 1110 1  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 356    /\ w3a 900   E.wex 1456    = wceq 1531    e. wcel 1533    =/= wne 2218   A.wral 2311   E.wrex 2312    i^i cin 2829    C_ wss 2830   (/)c0 3110    _E cep 3898    Fr wfr 3944    We wwe 3946
This theorem is referenced by:  tz7.5  4008  onnseq  5860  finminlem  24123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1452  ax-6 1453  ax-7 1454  ax-gen 1455  ax-8 1535  ax-11 1536  ax-14 1538  ax-17 1540  ax-12o 1574  ax-10 1588  ax-9 1594  ax-4 1601  ax-16 1787  ax-ext 2082  ax-sep 3745  ax-nul 3753  ax-pr 3813
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3an 902  df-ex 1457  df-sb 1748  df-eu 1970  df-mo 1971  df-clab 2088  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-ne 2220  df-ral 2315  df-rex 2316  df-rab 2318  df-v 2514  df-dif 2833  df-un 2835  df-in 2837  df-ss 2841  df-nul 3111  df-if 3221  df-sn 3300  df-pr 3301  df-op 3303  df-br 3631  df-opab 3685  df-eprel 3900  df-po 3909  df-so 3910  df-fr 3947  df-we 3949
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