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Theorem wefrc 4277
Description: A non-empty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by  _E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
wefrc  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, B
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem wefrc
StepHypRef Expression
1 wess 4270 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (  _E  We  A  ->  _E  We  B ) )
2 n0 3368 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
3 ineq2 3269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( B  i^i  y
) )
43eqeq1d 2261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( B  i^i  y )  =  (/) ) )
54rcla4ev 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( B  i^i  y
)  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
65ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
76adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
8 inss1 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  i^i  y )  C_  B
9 wefr 4273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  _E  We  B  ->  _E  Fr  B )
10 vex 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
1110inex2 4050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  i^i  y )  e. 
_V
1211epfrc 4269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  Fr  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
139, 12syl3an1 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( B  i^i  y
)  C_  B  /\  ( B  i^i  y
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) )
14133exp 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  C_  B  ->  ( ( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
158, 14mpi 18 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  ( B  i^i  y
) ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
16 elin 3263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  i^i  y )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  y ) )
1716anbi1i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  x  e.  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
18 anass 633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y
)  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) 
<->  ( x  e.  B  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) ) )
1917, 18bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( B  i^i  y )  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  B  /\  (
x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) ) )
2019rexbii2 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ( B  i^i  y ) ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/)  <->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/) ) )
2115, 20syl6ib 219 . . . . . . . . 9  |-  (  _E  We  B  ->  (
( B  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  (
( B  i^i  y
)  i^i  x )  =  (/) ) ) )
23 elin 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( B  i^i  x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  x ) )
24 df-3an 941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B ) )
25 3anrot 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
2624, 25bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  x  e.  B )  <->  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
27 wetrep 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  e.  x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  y ) )
2827exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
2926, 28sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (  _E  We  B  /\  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  x  e.  B ) )  -> 
( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) )
3029exp44 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) ) )
3130imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3231com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  B  ->  ( z  e.  x  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) ) )
3332imp3a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  e.  B  /\  z  e.  x )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3423, 33syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  z  e.  y ) ) ) )
3534imp4a 575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  ( B  i^i  x )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  y ) ) )
3635com23 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
z  e.  ( B  i^i  x )  -> 
z  e.  y ) ) )
3736ralrimdv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y ) )
38 dfss3 3090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  A. z  e.  ( B  i^i  x
) z  e.  y )
3937, 38syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( B  i^i  x )  C_  y ) )
40 dfss 3087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x
)  i^i  y )
)
41 in32 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
)
4241eqeq2i 2263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  x )  i^i  y )  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4340, 42bitri 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  <->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y
)  i^i  x )
)
4443biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  ( B  i^i  x )  =  ( ( B  i^i  y )  i^i  x
) )
4544eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( B  i^i  x
)  =  (/)  <->  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) ) )
4645biimprd 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  i^i  x ) 
C_  y  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
4739, 46syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( B  i^i  y )  i^i  x
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
4847exp3a 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/)  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) ) )
4948imp4a 575 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
5049reximdvai 2613 . . . . . . . 8  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( E. x  e.  B  ( x  e.  y  /\  ( ( B  i^i  y )  i^i  x )  =  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
5122, 50syld 42 . . . . . . 7  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
527, 51pm2.61dne 2487 . . . . . 6  |-  ( (  _E  We  B  /\  y  e.  B )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) )
5352ex 425 . . . . 5  |-  (  _E  We  B  ->  (
y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
5453exlimdv 1932 . . . 4  |-  (  _E  We  B  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x
)  =  (/) ) )
552, 54syl5bi 210 . . 3  |-  (  _E  We  B  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) )
561, 55syl6com 33 . 2  |-  (  _E  We  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) ) ) )
57563imp 1150 1  |-  ( (  _E  We  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( B  i^i  x )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2507   E.wrex 2508    i^i cin 3074    C_ wss 3075   (/)c0 3359    _E cep 4193    Fr wfr 4239    We wwe 4241
This theorem is referenced by:  tz7.5  4303  onnseq  6244  finminlem  25328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pr 4105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-rab 2514  df-v 2727  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-nul 3360  df-if 3468  df-sn 3547  df-pr 3548  df-op 3550  df-br 3918  df-opab 3972  df-eprel 4195  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244
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