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Theorem wemaplem2 7508
Description: Lemma for wemapso 7512. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemaplem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemaplem2.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
wemaplem2.r  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemaplem2.s  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
wemaplem2.px1  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
wemaplem2.px2  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
wemaplem2.px3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
wemaplem2.xq1  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
wemaplem2.xq2  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
wemaplem2.xq3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
wemaplem2  |-  ( ph  ->  P T Q )
Distinct variable groups:    a, b,
c, x, B    T, a, b, c    w, a, y, z, X, b, c, x    A, a, b, c, w, x, y, z    P, a, b, c, w, x, y, z    Q, a, b, c, w, x, y, z    R, a, b, c, w, x, y, z    S, a, b, c, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, a, b, c)    B( y, z, w)    T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem2
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemaplem2.px1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  A )
2 wemaplem2.xq1 . . . 4  |-  ( ph  ->  b  e.  A )
3 ifcl 3767 . . . 4  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A
)
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A
)
5 wemaplem2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
6 solin 4518 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
75, 1, 2, 6syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )
8 wemaplem2.px2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  a
) S ( X `
 a ) )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( X `  a ) )
10 wemaplem2.xq3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
11 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  (
c R b  <->  a R
b ) )
12 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  ( X `  c )  =  ( X `  a ) )
13 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  ( Q `  c )  =  ( Q `  a ) )
1412, 13eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  a  ->  (
( X `  c
)  =  ( Q `
 c )  <->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
1511, 14imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  a  ->  (
( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) ) )
1615rspcva 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R b  -> 
( X `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
171, 10, 16syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a R b  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) ) )
1817imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( X `  a )  =  ( Q `  a ) )
199, 18breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) )
20 iftrue 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  a )
2120fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( a R b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 a ) )
2220fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( a R b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 a ) )
2321, 22breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( a R b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2423adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  a ) S ( Q `  a ) ) )
2519, 24mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a R
b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
26 wemaplem2.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  S  Po  B )
28 wemaplem2.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( B  ^m  A ) )
29 elmapi 7030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( B  ^m  A )  ->  P : A --> B )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : A --> B )
3130, 2ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P `  b
)  e.  B )
32 wemaplem2.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  A ) )
33 elmapi 7030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  A )  ->  X : A --> B )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : A --> B )
3534, 2ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X `  b
)  e.  B )
36 wemaplem2.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( B  ^m  A ) )
37 elmapi 7030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  ( B  ^m  A )  ->  Q : A --> B )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : A --> B )
3938, 2ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  b
)  e.  B )
4031, 35, 393jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
4140adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  b
)  e.  B  /\  ( X `  b )  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )
42 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  a )  =  ( P `  b ) )
43 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( X `  a )  =  ( X `  b ) )
4442, 43breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  a
) S ( X `
 a )  <->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
458, 44syl5ibcom 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  =  b  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) ) )
4645imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( X `  b ) )
47 wemaplem2.xq2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  b
) S ( Q `
 b ) )
4847adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
49 potr 4507 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( P `  b ) S ( X `  b )  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )  -> 
( P `  b
) S ( Q `
 b ) ) )
5049imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  Po  B  /\  ( ( P `  b )  e.  B  /\  ( X `  b
)  e.  B  /\  ( Q `  b )  e.  B ) )  /\  ( ( P `
 b ) S ( X `  b
)  /\  ( X `  b ) S ( Q `  b ) ) )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
5127, 41, 46, 48, 50syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
52 ifeq1 3735 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  if ( a R b ,  b ,  b ) )
53 ifid 3763 . . . . . . . . . 10  |-  if ( a R b ,  b ,  b )  =  b
5452, 53syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
5554fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `
 b ) )
5654fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( Q `  if (
a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `
 b ) )
5755, 56breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5857adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
5951, 58mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  =  b )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
60 wemaplem2.px3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) ) )
61 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
c R a  <->  b R
a ) )
62 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  ( P `  c )  =  ( P `  b ) )
63 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  ( X `  c )  =  ( X `  b ) )
6462, 63eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  (
( P `  c
)  =  ( X `
 c )  <->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6561, 64imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  <->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) ) )
6665rspcva 3042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  A  /\  A. c  e.  A  ( c R a  -> 
( P `  c
)  =  ( X `
 c ) ) )  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
672, 60, 66syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b R a  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) ) )
6867imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b )  =  ( X `  b ) )
6947adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( X `  b ) S ( Q `  b ) )
7068, 69eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) )
71 sopo 4512 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
725, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
73 po2nr 4508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A
) )  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
7472, 2, 1, 73syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )
75 nan 564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  ->  -.  ( b R a  /\  a R b ) )  <-> 
( ( ph  /\  b R a )  ->  -.  a R b ) )
7674, 75mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  -.  a R b )
77 iffalse 3738 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  a R b  ->  if ( a R b ,  a ,  b )  =  b )
7877fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a R b  -> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( P `  b ) )
7977fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( -.  a R b  -> 
( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  =  ( Q `  b ) )
8078, 79breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( -.  a R b  -> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
8176, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  (
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  <->  ( P `  b ) S ( Q `  b ) ) )
8270, 81mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b R
a )  ->  ( P `  if (
a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
8325, 59, 823jaodan 1250 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a R b  \/  a  =  b  \/  b R a ) )  ->  ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
847, 83mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
85 r19.26 2830 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( A. c  e.  A  ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
8660, 10, 85sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
875, 1, 23jca 1134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )
88 prth 555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( ( P `  c )  =  ( X `  c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
89 eqtr 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  c
)  =  ( X `
 c )  /\  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )
9088, 89syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) )
9190ralimi 2773 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  A  (
( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
92 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  R  Or  A )
93 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  A )
94 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  a  e.  A )
95 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  b  e.  A )
96 soltmin 5265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( c  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9792, 93, 94, 95, 96syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  <-> 
( c R a  /\  c R b ) ) )
9897biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( c R a  /\  c R b ) ) )
9998imim1d 71 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A )  ->  (
( ( c R a  /\  c R b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  -> 
( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10099ralimdva 2776 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  /\  c R b )  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10187, 91, 100syl2im 36 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  A  ( ( c R a  ->  ( P `  c )  =  ( X `  c ) )  /\  ( c R b  ->  ( X `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
10286, 101mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )
103 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( P `  d
)  =  ( P `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
104 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( Q `  d
)  =  ( Q `
 if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
105103, 104breq12d 4217 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( P `  d ) S ( Q `  d )  <-> 
( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) ) )
106 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( c R d  <-> 
c R if ( a R b ,  a ,  b ) ) )
107106imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
108107ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) )  <->  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
109105, 108anbi12d 692 . . . 4  |-  ( d  =  if ( a R b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( P `
 d ) S ( Q `  d
)  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) )  <-> 
( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
110109rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( if ( a R b ,  a ,  b )  e.  A  /\  ( ( P `  if ( a R b ,  a ,  b ) ) S ( Q `  if ( a R b ,  a ,  b ) )  /\  A. c  e.  A  ( c R if ( a R b ,  a ,  b )  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  (
c R d  -> 
( P `  c
)  =  ( Q `
 c ) ) ) )
1114, 84, 102, 110syl12anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) )
112 wemapso.t . . . 4  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
113112wemaplem1 7507 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( B  ^m  A )  /\  Q  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
11428, 36, 113syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P T Q  <->  E. d  e.  A  ( ( P `  d ) S ( Q `  d )  /\  A. c  e.  A  ( c R d  ->  ( P `  c )  =  ( Q `  c ) ) ) ) )
115111, 114mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  P T Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204   {copab 4257    Po wpo 4493    Or wor 4494   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012
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