Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso Structured version   Unicode version

Theorem wemapso 7512
 Description: Construct lexicographic order on a function space based on a well-ordering of the indexes and a total ordering of the values. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wemapso.t
Assertion
Ref Expression
wemapso
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem wemapso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2
2 wemapso.t . . 3
3 ssid 3359 . . 3
4 simp1 957 . . 3
5 weso 4565 . . . 4
7 simp3 959 . . 3
8 simpl1 960 . . . . 5
9 difss 3466 . . . . . . 7
10 dmss 5061 . . . . . . 7
119, 10ax-mp 8 . . . . . 6
12 simprll 739 . . . . . . . . 9
13 elmapi 7030 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
15 ffn 5583 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
17 fndm 5536 . . . . . . 7
1816, 17syl 16 . . . . . 6
1911, 18syl5sseq 3388 . . . . 5
208, 19ssexd 4342 . . . 4
21 simpl2 961 . . . . 5
22 wefr 4564 . . . . 5
2321, 22syl 16 . . . 4
24 simprr 734 . . . . 5
25 simprlr 740 . . . . . . . . 9
26 elmapi 7030 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
28 ffn 5583 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
30 fndmdifeq0 5828 . . . . . . 7
3116, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6
3231necon3bid 2633 . . . . 5
3324, 32mpbird 224 . . . 4
34 fri 4536 . . . 4
3520, 23, 19, 33, 34syl22anc 1185 . . 3
362, 3, 4, 6, 7, 35wemapso2lem 7511 . 2
371, 36syl3an1 1217 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204  copab 4257   wor 4494   wfr 4530   wwe 4532   cdm 4870   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010 This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16537  wepwso  27108 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012
 Copyright terms: Public domain W3C validator