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Theorem wemapwe 7657
Description: Construct lexicographic order on a function space based on a reverse well-ordering of the indexes and a well-ordering of the values. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapwe.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapwe.u  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
wemapwe.2  |-  ( ph  ->  R  We  A )
wemapwe.3  |-  ( ph  ->  S  We  B )
wemapwe.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
wemapwe.5  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
wemapwe.6  |-  G  = OrdIso
( S ,  B
)
wemapwe.7  |-  Z  =  ( G `  (/) )
Assertion
Ref Expression
wemapwe  |-  ( ph  ->  T  We  U )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    x, B, y    w, F, x, y, z    x, G, y    ph, x, y    w, R, z    z, S    x, U, y    x, Z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    B( z, w)    R( x, y)    S( x, y, w)    T( x, y, z, w)    U( z, w)    G( z, w)    Z( y, z, w)

Proof of Theorem wemapwe
Dummy variables  a 
b  c  d  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wemapwe.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
2 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin }  =  {
x  e.  ( dom 
G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( `' G `  Z ) } ) )  e.  Fin }
3 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G `  Z )  =  ( `' G `  Z )
4 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  A  e.  _V )
5 wemapwe.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  We  A )
65adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  R  We  A )
7 wemapwe.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
87oiiso 7509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
94, 6, 8syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
10 isof1o 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
12 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  B  e.  _V )
13 wemapwe.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  We  B )
1413adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  S  We  B )
15 wemapwe.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
( S ,  B
)
1615oiiso 7509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  S  We  B )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
) )
1712, 14, 16syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
) )
18 isof1o 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
)  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
19 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> B  ->  `' G : B -1-1-onto-> dom  G
)
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  `' G : B -1-1-onto-> dom  G
)
217oiexg 7507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  F  e.  _V )
2221ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  F  e.  _V )
23 dmexg 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  F  e.  _V )
2515oiexg 7507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  G  e.  _V )
2625ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G  e.  _V )
27 dmexg 5133 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  _V  ->  dom  G  e.  _V )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  e.  _V )
29 wemapwe.7 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( G `  (/) )
3017, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
31 f1ofo 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> B  ->  G : dom  G -onto-> B
)
32 forn 5659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : dom  G -onto-> B  ->  ran  G  =  B )
3330, 31, 323syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  ran  G  =  B )
34 wemapwe.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  B  =/=  (/) )
3633, 35eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  ran  G  =/=  (/) )
37 dm0rn0 5089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
3837necon3bii 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
G  =/=  (/)  <->  ran  G  =/=  (/) )
3936, 38sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  =/=  (/) )
4015oicl 7501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  dom  G
41 ord0eln0 4638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  G  ->  ( (/)  e.  dom  G  <->  dom  G  =/=  (/) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  dom  G  <->  dom  G  =/=  (/) )
4339, 42sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  (/) 
e.  dom  G )
4415oif 7502 . . . . . . . . . . . 12  |-  G : dom  G --> B
4544ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  dom  G  ->  ( G `  (/) )  e.  B )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( G `  (/) )  e.  B )
4729, 46syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  Z  e.  B )
481, 2, 3, 11, 20, 4, 12, 24, 28, 47mapfien 7656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin } )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F
)  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin }
5015oion 7508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
5150ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  G  e.  On )
527oion 7508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  On )
5352ad2antll 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  F  e.  On )
5449, 51, 53cantnfdm 7622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin } )
5529fveq2i 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G `  Z )  =  ( `' G `  ( G `  (/) ) )
56 f1ocnvfv1 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> B  /\  (/)  e.  dom  G
)  ->  ( `' G `  ( G `  (/) ) )  =  (/) )
5730, 43, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( `' G `  ( G `  (/) ) )  =  (/) )
5855, 57syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( `' G `  Z )  =  (/) )
5958sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { ( `' G `  Z ) }  =  { (/) } )
60 df1o2 6739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =  { (/) }
6159, 60syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { ( `' G `  Z ) }  =  1o )
6261difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( _V  \  {
( `' G `  Z ) } )  =  ( _V  \  1o ) )
6362imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( `' x "
( _V  \  {
( `' G `  Z ) } ) )  =  ( `' x " ( _V 
\  1o ) ) )
6463eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( `' x " ( _V  \  {
( `' G `  Z ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
6564rabbidv 2950 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin }  =  {
x  e.  ( dom 
G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin } )
6654, 65eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin } )
67 f1oeq3 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin }  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom  F
)  <->  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin } ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom 
F )  <->  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x  e.  ( dom  G  ^m  dom  F )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( `' G `  Z ) } ) )  e. 
Fin } ) )
6948, 68mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom 
F ) )
70 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  =  dom  ( dom  G CNF  dom 
F )
71 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  =  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }
7270, 51, 53, 71oemapwe 7653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  /\  dom OrdIso ( {
<. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) } ,  dom  ( dom  G CNF  dom  F )
)  =  ( dom 
G  ^o  dom  F ) ) )
7372simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F
) )
74 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }
7574f1owe 6076 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom  ( dom  G CNF  dom  F
)  ->  ( { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  We  dom  ( dom  G CNF  dom  F )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  We  U ) )
7669, 73, 75sylc 59 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  We  U )
77 weinxp 4948 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  We  U  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
7876, 77sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
7911adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  F : dom  F -1-1-onto-> A )
80 f1ofn 5678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  dom  F )
81 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
x `  z )  =  ( x `  ( F `  c ) ) )
82 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
y `  z )  =  ( y `  ( F `  c ) ) )
8381, 82breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  <->  ( x `  ( F `  c
) ) S ( y `  ( F `
 c ) ) ) )
84 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
z R w  <->  ( F `  c ) R w ) )
8584imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( ( F `
 c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
8685ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
8783, 86anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
x `  ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
8887rexrn 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( E. z  e. 
ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) )
8979, 80, 883syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `
 c ) ) S ( y `  ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) ) )
90 f1ofo 5684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> A  ->  F : dom  F -onto-> A
)
91 forn 5659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : dom  F -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
9279, 90, 913syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ran  F  =  A )
9392rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  ran  F ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) )
9426adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  G  e.  _V )
95 cnvexg 5408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  _V  ->  `' G  e.  _V )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  `' G  e.  _V )
97 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
9822adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  F  e.  _V )
99 coexg 5415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( x  o.  F
)  e.  _V )
10097, 98, 99sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
x  o.  F )  e.  _V )
101 coexg 5415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G  e.  _V  /\  ( x  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  e.  _V )
10296, 100, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) )  e.  _V )
103 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
104 coexg 5415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( y  o.  F
)  e.  _V )
105103, 98, 104sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  o.  F )  e.  _V )
106 coexg 5415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G  e.  _V  /\  ( y  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  e.  _V )
10796, 105, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  e.  _V )
108 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  ->  (
a `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c ) )
109 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  ->  (
b `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) )
110 eleq12 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  c
)  =  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  /\  ( b `  c )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
) )  ->  (
( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) ) )
111108, 109, 110syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c ) ) )
112 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  ->  (
a `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d ) )
113 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  ->  (
b `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) )
114112, 113eqeqan12d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( a `  d
)  =  ( b `
 d )  <->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) ) )
115114imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )  <->  ( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 d ) ) ) )
116115ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  ( A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
) ) ) )
117111, 116anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  (
( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) )  <-> 
( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
118117rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) )  /\  b  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
119118, 71brabga 4472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) )  e.  _V  /\  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) )  e.  _V )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( `' G  o.  ( y  o.  F ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
120102, 107, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
121 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x  e.  U )
122 coeq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  x  ->  (
f  o.  F )  =  ( x  o.  F ) )
123122coeq2d 5038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  x  ->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) )
124 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) )
125123, 124fvmptg 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x )  =  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) )
126121, 102, 125syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x )  =  ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) )
127 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  U )
128 coeq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  y  ->  (
f  o.  F )  =  ( y  o.  F ) )
129128coeq2d 5038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  y  ->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) )
130129, 124fvmptg 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  U  /\  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) )  e.  _V )  ->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )
131127, 107, 130syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  =  ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) )
132126, 131breq12d 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  <->  ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) {
<. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) ) )
13317ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  G  Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B ) )
134 isocnv 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  S  ( dom  G ,  B
)  ->  `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G ) )
136 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { x  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin } 
C_  ( B  ^m  A )
1371, 136eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
138137, 121sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x  e.  ( B  ^m  A
) )
139 elmapi 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  x : A --> B )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  x : A --> B )
1417oif 7502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F : dom  F --> A
142141ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  dom  F  -> 
( F `  c
)  e.  A )
143 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x : A --> B  /\  ( F `  c )  e.  A )  -> 
( x `  ( F `  c )
)  e.  B )
144140, 142, 143syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( x `  ( F `  c ) )  e.  B )
145137, 127sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  ( B  ^m  A
) )
146 elmapi 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( B  ^m  A )  ->  y : A --> B )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y : A --> B )
148 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y : A --> B  /\  ( F `  c )  e.  A )  -> 
( y `  ( F `  c )
)  e.  B )
149147, 142, 148syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( y `  ( F `  c ) )  e.  B )
150 isorel 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  Isom  S ,  _E  ( B ,  dom  G )  /\  ( ( x `  ( F `
 c ) )  e.  B  /\  (
y `  ( F `  c ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  _E  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) ) )
151135, 144, 149, 150syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) )  _E  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) ) )
152 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) )  e.  _V
153152epelc 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G `  ( x `
 ( F `  c ) ) )  _E  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  e.  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) )
154151, 153syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) )  e.  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) ) )
155140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  x : A --> B )
156 fco 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : A --> B  /\  F : dom  F --> A )  ->  ( x  o.  F ) : dom  F --> B )
157155, 141, 156sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( x  o.  F ) : dom  F --> B )
158 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  o.  F
) : dom  F --> B  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) ) )
159157, 158sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) ) )
160 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  c  e.  dom  F )
161 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( (
x  o.  F ) `
 c )  =  ( x `  ( F `  c )
) )
162141, 160, 161sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x  o.  F ) `  c )  =  ( x `  ( F `
 c ) ) )
163162fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  c
) )  =  ( `' G `  ( x `
 ( F `  c ) ) ) )
164159, 163eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( x `  ( F `  c )
) ) )
165147adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  y : A --> B )
166 fco 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : A --> B  /\  F : dom  F --> A )  ->  ( y  o.  F ) : dom  F --> B )
167165, 141, 166sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( y  o.  F ) : dom  F --> B )
168 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  o.  F
) : dom  F --> B  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  c )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) ) )
169167, 168sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) ) )
170 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( (
y  o.  F ) `
 c )  =  ( y `  ( F `  c )
) )
171141, 160, 170sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( y  o.  F ) `  c )  =  ( y `  ( F `
 c ) ) )
172171fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  c
) )  =  ( `' G `  ( y `
 ( F `  c ) ) ) )
173169, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  =  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) )
174164, 173eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F ) ) `
 c )  <->  ( `' G `  ( x `  ( F `  c
) ) )  e.  ( `' G `  ( y `  ( F `  c )
) ) ) )
175154, 174bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( x `
 ( F `  c ) ) S ( y `  ( F `  c )
)  <->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
) ) )
17692raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) )
177 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( F `  c
) R w  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
178 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
x `  w )  =  ( x `  ( F `  d ) ) )
179 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( F `  d ) ) )
180178, 179eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( x `  w
)  =  ( y `
 w )  <->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) )
181177, 180imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  d )  ->  (
( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( ( F `
 c ) R ( F `  d
)  ->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) ) )
182181ralrn 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. w  e. 
ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
18379, 80, 1823syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  ran  F ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
184176, 183bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
185184adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
186 epel 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  _E  d  <->  c  e.  d )
1879ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
188 isorel 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
)  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  ( c  _E  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
189187, 188sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
c  _E  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
190186, 189syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
c  e.  d  <->  ( F `  c ) R ( F `  d ) ) )
191157adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
x  o.  F ) : dom  F --> B )
192 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  d  e.  dom  F )
193 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  o.  F
) : dom  F --> B  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
x  o.  F ) ) `  d )  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) ) )
194191, 192, 193syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `
 d ) ) )
195167adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
y  o.  F ) : dom  F --> B )
196 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  o.  F
) : dom  F --> B  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `  d
) ) )
197195, 192, 196syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
)  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
198194, 197eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  <-> 
( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) ) )
19930ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> B )
200 f1of1 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' G : B -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : B -1-1-> dom  G )
201199, 19, 2003syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  `' G : B -1-1-> dom  G
)
202191, 192ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( x  o.  F
) `  d )  e.  B )
203195, 192ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( y  o.  F
) `  d )  e.  B )
204 f1fveq 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' G : B -1-1-> dom  G  /\  ( ( ( x  o.  F ) `
 d )  e.  B  /\  ( ( y  o.  F ) `
 d )  e.  B ) )  -> 
( ( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) )  <-> 
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
205201, 202, 203, 204syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( `' G `  ( ( x  o.  F ) `  d
) )  =  ( `' G `  ( ( y  o.  F ) `
 d ) )  <-> 
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d ) ) )
206 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
x  o.  F ) `
 d )  =  ( x `  ( F `  d )
) )
207141, 192, 206sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( x  o.  F
) `  d )  =  ( x `  ( F `  d ) ) )
208 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> A  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
y  o.  F ) `
 d )  =  ( y `  ( F `  d )
) )
209141, 192, 208sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( y  o.  F
) `  d )  =  ( y `  ( F `  d ) ) )
210207, 209eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( x  o.  F ) `  d
)  =  ( ( y  o.  F ) `
 d )  <->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) )
211198, 205, 2103bitrd 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d )  <-> 
( x `  ( F `  d )
)  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) )
212190, 211imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  ( c  e.  dom  F  /\  d  e.  dom  F ) )  ->  (
( c  e.  d  ->  ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 d )  =  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  d
) )  <->  ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  (
x `  ( F `  d ) )  =  ( y `  ( F `  d )
) ) ) )
213212anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  /\  d  e.  dom  F )  ->  ( (
c  e.  d  -> 
( ( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) )  <->  ( ( F `
 c ) R ( F `  d
)  ->  ( x `  ( F `  d
) )  =  ( y `  ( F `
 d ) ) ) ) )
214213ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) )  <->  A. d  e.  dom  F ( ( F `  c ) R ( F `  d )  ->  ( x `  ( F `  d ) )  =  ( y `
 ( F `  d ) ) ) ) )
215185, 214bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) )  <->  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) )
216175, 215anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  /\  c  e.  dom  F )  ->  ( ( ( x `  ( F `
 c ) ) S ( y `  ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c ) R w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) )  <->  ( (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  c
)  e.  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  c )  /\  A. d  e. 
dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
217216rexbidva 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  E. c  e.  dom  F ( ( ( `' G  o.  ( x  o.  F ) ) `
 c )  e.  ( ( `' G  o.  ( y  o.  F
) ) `  c
)  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  ->  (
( `' G  o.  ( x  o.  F
) ) `  d
)  =  ( ( `' G  o.  (
y  o.  F ) ) `  d ) ) ) ) )
218120, 132, 2173bitr4rd 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. c  e.  dom  F ( ( x `  ( F `  c ) ) S ( y `
 ( F `  c ) )  /\  A. w  e.  A  ( ( F `  c
) R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  <->  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) ) )
21989, 93, 2183bitr3d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) ) )
220219ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) ) ) )
221220pm5.32rd 623 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  <->  ( (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) ) )
222221opabbidv 4274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) } )
223 wemapwe.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
224 df-xp 4887 . . . . . . . . 9  |-  ( U  X.  U )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) }
225223, 224ineq12i 3542 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )
226 inopab 5008 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( E. z  e.  A  ( ( x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
227225, 226eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( E. z  e.  A  (
( x `  z
) S ( y `
 z )  /\  A. w  e.  A  ( z R w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) }
228224ineq2i 3541 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )
229 inopab 5008 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
230228, 229eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) }
231222, 227, 2303eqtr4g 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) ) )
232 weeq1 4573 . . . . . 6  |-  ( ( T  i^i  ( U  X.  U ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  x ) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  ->  (
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F ) ) ) `  x ) { <. a ,  b
>.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c )  e.  ( b `  c )  /\  A. d  e.  dom  F ( c  e.  d  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) }  ( ( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  y
) }  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U ) )
233231, 232syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( ( T  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
f  e.  U  |->  ( `' G  o.  (
f  o.  F ) ) ) `  x
) { <. a ,  b >.  |  E. c  e.  dom  F ( ( a `  c
)  e.  ( b `
 c )  /\  A. d  e.  dom  F
( c  e.  d  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) }  (
( f  e.  U  |->  ( `' G  o.  ( f  o.  F
) ) ) `  y ) }  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
) )
23478, 233mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  -> 
( T  i^i  ( U  X.  U ) )  We  U )
235 weinxp 4948 . . . 4  |-  ( T  We  U  <->  ( T  i^i  ( U  X.  U
) )  We  U
)
236234, 235sylibr 205 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )  ->  T  We  U )
237236ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  e. 
_V  /\  A  e.  _V )  ->  T  We  U ) )
238 we0 4580 . . 3  |-  T  We  (/)
239 elmapex 7040 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
240239con3i 130 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  -.  x  e.  ( B  ^m  A ) )
241240pm2.21d 101 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  ->  -.  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin ) )
242241ralrimiv 2790 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A )  -.  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
243 rabeq0 3651 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }  =  (/)  <->  A. x  e.  ( B  ^m  A
)  -.  ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )
244242, 243sylibr 205 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }  =  (/) )
2451, 244syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U  =  (/) )
246 weeq2 4574 . . . 4  |-  ( U  =  (/)  ->  ( T  We  U  <->  T  We  (/) ) )
247245, 246syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( T  We  U  <->  T  We  (/) ) )
248238, 247mpbiri 226 . 2  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  T  We  U )
249237, 248pm2.61d1 154 1  |-  ( ph  ->  T  We  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   {copab 4268    e. cmpt 4269    _E cep 4495    We wwe 4543   Ord word 4583   Oncon0 4584    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884    o. ccom 4885    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -onto->wfo 5455   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457    Isom wiso 5458  (class class class)co 6084   1oc1o 6720    ^o coe 6726    ^m cmap 7021   Fincfn 7112  OrdIsocoi 7481   CNF ccnf 7619
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This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-seqom 6708  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-oexp 6733  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-cnf 7620
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