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Theorem wepwsolem 27241
Description: Transfer an ordering on characteristic functions by isomorphism to the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wepwso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
wepwso.u  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
wepwso.f  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
wepwsolem  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z, w, a    x, A, y, z, w, a   
x, F, y, z, w    T, a    U, a
Allowed substitution hints:    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)    F( a)

Proof of Theorem wepwsolem
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wepwso.f . . 3  |-  F  =  ( a  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' a " { 1o } ) )
21pw2f1o2 27234 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ( 2o  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P A )
3 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( c `
 z )  e. 
_V
43epelc 4323 . . . . . . 7  |-  ( ( b `  z )  _E  ( c `  z )  <->  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )
5 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  b : A --> 2o )
65ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  b : A --> 2o )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b : A --> 2o  /\  z  e.  A )  ->  ( b `  z
)  e.  2o )
86, 7sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
b `  z )  e.  2o )
9 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  c : A --> 2o )
109ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  c : A --> 2o )
11 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c : A --> 2o  /\  z  e.  A )  ->  ( c `  z
)  e.  2o )
1210, 11sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
c `  z )  e.  2o )
13 n0i 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  -.  ( c `  z
)  =  (/) )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
c `  z )  =  (/) )
15 elpri 3673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 z )  =  (/)  \/  ( c `  z )  =  1o ) )
16 df2o3 6508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
1715, 16eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c `  z )  e.  2o  ->  (
( c `  z
)  =  (/)  \/  (
c `  z )  =  1o ) )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  (/)  \/  ( c `
 z )  =  1o ) )
19 orel1 371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( c `  z
)  =  (/)  ->  (
( ( c `  z )  =  (/)  \/  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( c `  z )  =  1o ) )
2014, 18, 19sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( c `  z )  =  1o )
21 1on 6502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
2221onirri 4515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  1o  e.  1o
23 eleq12 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  1o  e.  1o ) )
2423biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  z
)  =  1o  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  ->  1o  e.  1o ) )
2524expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c `  z )  =  1o  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  ->  1o  e.  1o ) ) )
2625com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  ( c `  z )  ->  (
( c `  z
)  =  1o  ->  ( ( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  /\  ( c `  z
)  =  1o )  ->  ( ( b `
 z )  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2827adantll 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  (
( b `  z
)  =  1o  ->  1o  e.  1o ) )
2922, 28mtoi 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( b `
 z )  e.  2o  /\  ( c `
 z )  e.  2o )  /\  (
b `  z )  e.  ( c `  z
) )  /\  (
c `  z )  =  1o )  ->  -.  ( b `  z
)  =  1o )
3020, 29mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  -.  (
b `  z )  =  1o )
3120, 30jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( b `  z )  e.  ( c `  z ) )  ->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )
32 elpri 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  z )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
3332, 16eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  z )  e.  2o  ->  (
( b `  z
)  =  (/)  \/  (
b `  z )  =  1o ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  =  (/)  \/  ( b `  z )  =  1o ) )
35 orel2 372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( b `  z
)  =  1o  ->  ( ( ( b `  z )  =  (/)  \/  ( b `  z
)  =  1o )  ->  ( b `  z )  =  (/) ) )
3634, 35mpan9 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  -.  ( b `
 z )  =  1o )  ->  (
b `  z )  =  (/) )
3736adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  =  (/) )
38 0lt1o 6519 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
3937, 38syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  1o )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( c `  z
)  =  1o )
4139, 40eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  z )  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  /\  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) )  -> 
( b `  z
)  e.  ( c `
 z ) )
4231, 41impbida 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b `  z
)  e.  2o  /\  ( c `  z
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 z )  e.  ( c `  z
)  <->  ( ( c `
 z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
438, 12, 42syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
44 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
451pw2f1o2val2 27236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  z
)  =  1o ) )
4644, 45sylancom 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  z )  =  1o ) )
47 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
481pw2f1o2val2 27236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( z  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  z
)  =  1o ) )
4947, 48sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  z )  =  1o ) )
5049notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  z  e.  ( F `  b )  <->  -.  ( b `  z
)  =  1o ) )
5146, 50anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  ( F `  c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) )  <->  ( (
c `  z )  =  1o  /\  -.  (
b `  z )  =  1o ) ) )
5243, 51bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  e.  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
534, 52syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( b `  z
)  _E  ( c `
 z )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
54 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( b `  w
)  e.  2o )
556, 54sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
b `  w )  e.  2o )
56 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c : A --> 2o  /\  w  e.  A )  ->  ( c `  w
)  e.  2o )
5710, 56sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
c `  w )  e.  2o )
58 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b `  w )  =  ( c `  w )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  (/) )
60 1n0 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1o  =/=  (/)
6160necomi 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =/=  1o
62 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =/=  1o  <->  -.  (/)  =  1o )
6361, 62mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  =  1o
64 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  ( ( b `  w )  =  1o  <->  (/)  =  1o ) )
6563, 64mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b `  w )  =  (/)  ->  -.  (
b `  w )  =  1o )
6665ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( b `  w
)  =  1o )
67 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
6866, 67mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  -.  ( c `  w
)  =  1o )
69 elpri 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( c `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
7069, 16eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c `  w )  e.  2o  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( c `
 w )  =  (/)  \/  ( c `  w )  =  1o ) )
7271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( c `  w
)  =  (/)  \/  (
c `  w )  =  1o ) )
73 orel2 372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( c `  w
)  =  1o  ->  ( ( ( c `  w )  =  (/)  \/  ( c `  w
)  =  1o )  ->  ( c `  w )  =  (/) ) )
7468, 72, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  (/) )
7559, 74eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  (/) )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
7675ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  (/) )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
77 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  1o )
78 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
7977, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
c `  w )  =  1o )
8077, 79eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( b `
 w )  e.  2o  /\  ( c `
 w )  e.  2o )  /\  (
b `  w )  =  1o )  /\  (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) )  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) )
8180ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b `  w )  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  /\  ( b `  w )  =  1o )  ->  ( (
( b `  w
)  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
82 elpri 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b `  w )  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
8382, 16eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  w )  e.  2o  ->  (
( b `  w
)  =  (/)  \/  (
b `  w )  =  1o ) )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  (/)  \/  ( b `  w )  =  1o ) )
8576, 81, 84mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o )  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )
8658, 85impbid2 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b `  w
)  e.  2o  /\  ( c `  w
)  e.  2o )  ->  ( ( b `
 w )  =  ( c `  w
)  <->  ( ( b `
 w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
8755, 57, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( (
b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
88 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  b  e.  ( 2o  ^m  A
) )
891pw2f1o2val2 27236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  b )  <-> 
( b `  w
)  =  1o ) )
9088, 89sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  ( b `  w )  =  1o ) )
91 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  c  e.  ( 2o  ^m  A
) )
921pw2f1o2val2 27236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ( 2o 
^m  A )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  e.  ( F `  c )  <-> 
( c `  w
)  =  1o ) )
9391, 92sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  e.  ( F `
 c )  <->  ( c `  w )  =  1o ) )
9490, 93bibi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w  e.  ( F `  b )  <-> 
w  e.  ( F `
 c ) )  <-> 
( ( b `  w )  =  1o  <->  ( c `  w )  =  1o ) ) )
9587, 94bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( b `  w
)  =  ( c `
 w )  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
9695imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9796ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9897adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) ) )
9953, 98anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
10099rexbidva 2573 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
101 vex 2804 . . . . 5  |-  b  e. 
_V
102 vex 2804 . . . . 5  |-  c  e. 
_V
103 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  z )  =  ( b `  z ) )
104 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  z )  =  ( c `  z ) )
105103, 104breqan12d 4054 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  z )  _E  (
y `  z )  <->  ( b `  z )  _E  ( c `  z ) ) )
106 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x `  w )  =  ( b `  w ) )
107 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
y `  w )  =  ( c `  w ) )
108106, 107eqeqan12d 2311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( x `  w )  =  ( y `  w )  <-> 
( b `  w
)  =  ( c `
 w ) ) )
109108imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
110109ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
111105, 110anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <-> 
( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
112111rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  c )  ->  ( E. z  e.  A  ( ( x `
 z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  <->  E. z  e.  A  ( ( b `  z )  _E  (
c `  z )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) ) )
113 wepwso.u . . . . 5  |-  U  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z )  _E  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
114101, 102, 112, 113braba 4298 . . . 4  |-  ( b U c  <->  E. z  e.  A  ( (
b `  z )  _E  ( c `  z
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
b `  w )  =  ( c `  w ) ) ) )
115 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( F `
 b )  e. 
_V
116 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
117 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  ( F `  c ) ) )
118 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  ( F `  b ) ) )
119118notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  ( -.  z  e.  x  <->  -.  z  e.  ( F `
 b ) ) )
120117, 119bi2anan9r 844 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  <->  ( z  e.  ( F `  c
)  /\  -.  z  e.  ( F `  b
) ) ) )
121 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  b )  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  ( F `  b ) ) )
122 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  c )  ->  (
w  e.  y  <->  w  e.  ( F `  c ) ) )
123121, 122bi2bian9 845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w  e.  x  <->  w  e.  y
)  <->  ( w  e.  ( F `  b
)  <->  w  e.  ( F `  c )
) ) )
124123imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
125124ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) )  <->  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
126120, 125anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
127126rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( F `
 b )  /\  y  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. z  e.  A  ( ( z  e.  y  /\  -.  z  e.  x )  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  ( w  e.  x  <->  w  e.  y
) ) )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) ) )
128 wepwso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
z  e.  y  /\  -.  z  e.  x
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  y ) ) ) }
129115, 116, 127, 128braba 4298 . . . 4  |-  ( ( F `  b ) T ( F `  c )  <->  E. z  e.  A  ( (
z  e.  ( F `
 c )  /\  -.  z  e.  ( F `  b )
)  /\  A. w  e.  A  ( w R z  ->  (
w  e.  ( F `
 b )  <->  w  e.  ( F `  c ) ) ) ) )
130100, 114, 1293bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( b  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  c  e.  ( 2o  ^m  A ) ) )  ->  (
b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
131130ralrimivva 2648 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) )
132 df-isom 5280 . 2  |-  ( F 
Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
)  <->  ( F :
( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  /\  A. b  e.  ( 2o  ^m  A
) A. c  e.  ( 2o  ^m  A
) ( b U c  <->  ( F `  b ) T ( F `  c ) ) ) )
1332, 131, 132sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  _V  ->  F  Isom  U ,  T  ( ( 2o  ^m  A
) ,  ~P A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093    _E cep 4319   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    Isom wiso 5272  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  wepwso  27242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-2o 6496  df-map 6790
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