MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  weth Unicode version

Theorem weth 8003
Description: Well-ordering theorem: any set  A can be well-ordered. This is an equivalent of the Axiom of Choice. Theorem 6 of [Suppes] p. 242. First proved by Ernst Zermelo (the "Z" in ZFC) in 1904. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
weth  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  x  We  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem weth
StepHypRef Expression
1 weeq2 4272 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
x  We  y  <->  x  We  A ) )
21exbidv 2005 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  x  We  y 
<->  E. x  x  We  A ) )
3 dfac8 7642 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. y E. x  x  We  y )
43axaci 7976 . 2  |-  E. x  x  We  y
52, 4vtoclg 2779 1  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  x  We  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    We wwe 4241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4025  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-ac2 7970
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-int 3758  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-se 4243  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-suc 4288  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-isom 4606  df-iota 6140  df-riota 6187  df-recs 6271  df-en 6747  df-card 7453  df-ac 7624
  Copyright terms: Public domain W3C validator