Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilth Structured version   Unicode version

Theorem wilth 20856
 Description: Wilson's theorem. A number is prime iff it is greater or equal to and is congruent to , , or alternatively if divides . In this part of the proof we show the relatively simple reverse implication; see wilthlem3 20855 for the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
wilth

Proof of Theorem wilth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 13099 . . 3
2 eqid 2438 . . . 4 mulGrpfld mulGrpfld
3 eleq2 2499 . . . . . 6
4 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
54oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
65eleq1d 2504 . . . . . . . 8
76cbvralv 2934 . . . . . . 7
8 eleq2 2499 . . . . . . . 8
98raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7
107, 9syl5bb 250 . . . . . 6
113, 10anbi12d 693 . . . . 5
1211cbvrabv 2957 . . . 4
132, 12wilthlem3 20855 . . 3
141, 13jca 520 . 2
15 simpl 445 . . 3
16 elfzuz 11057 . . . . . . . . 9
1716adantl 454 . . . . . . . 8
18 eluz2b2 10550 . . . . . . . . 9
1918simplbi 448 . . . . . . . 8
2017, 19syl 16 . . . . . . 7
21 elfzuz3 11058 . . . . . . . 8
2221adantl 454 . . . . . . 7
23 dvdsfac 12906 . . . . . . 7
2420, 22, 23syl2anc 644 . . . . . 6
25 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . 11
2625simplbi 448 . . . . . . . . . 10
2726ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
28 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . 9
29 faccl 11578 . . . . . . . . 9
3027, 28, 293syl 19 . . . . . . . 8
3130nnzd 10376 . . . . . . 7
3218simprbi 452 . . . . . . . 8
3317, 32syl 16 . . . . . . 7
34 ndvdsp1 12931 . . . . . . 7
3531, 20, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . 6
3624, 35mpd 15 . . . . 5
37 simplr 733 . . . . . 6
3820nnzd 10376 . . . . . . 7
3927nnzd 10376 . . . . . . 7
4031peano2zd 10380 . . . . . . 7
41 dvdstr 12885 . . . . . . 7
4238, 39, 40, 41syl3anc 1185 . . . . . 6
4337, 42mpan2d 657 . . . . 5
4436, 43mtod 171 . . . 4
4544ralrimiva 2791 . . 3
46 isprm3 13090 . . 3
4715, 45, 46sylanbrc 647 . 2
4814, 47impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  cpw 3801   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1 8993   caddc 8995   clt 9122   cmin 9293  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  cfz 11045   cmo 11252  cexp 11384  cfa 11568   cdivides 12854  cprime 13081  mulGrpcmgp 15650  ℂfldccnfld 16705 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-phi 13157  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-cnfld 16706
 Copyright terms: Public domain W3C validator