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Theorem winainflem 8560
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainflem  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem winainflem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0suc 4861 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z ) )
2 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  =/=  (/) )
32necon2bi 2644 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
54sucid 4652 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
suc  z
6 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( z  e.  A  <->  z  e.  suc  z ) )
75, 6mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  z  -> 
z  e.  A )
87adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  z  e.  A
)
9 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  ~<  y  <->  z  ~<  y ) )
109rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. y  e.  A  z  ~<  y ) )
11 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  ~<  y  <->  z  ~<  w ) )
1211cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w )
1310, 12syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  ~<  y  <->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
1413rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
158, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
16 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( w  e.  A  <->  w  e.  suc  z ) )
1716biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  suc  z  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  suc  z )
18173ad2antl2 1120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  suc  z
)
19 nnon 4843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
20 suceloni 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  On )
22 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  suc  z  -> 
( A  e.  On  <->  suc  z  e.  On ) )
2322biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  A  =  suc  z
)  ->  A  e.  On )
2421, 23sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  A  e.  On )
25243adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A  e.  On )
26 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
2725, 26sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  On )
28 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  om )
2928, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  On )
30 onsssuc 4661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3127, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  ( w  C_  z  <->  w  e.  suc  z ) )
3218, 31mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  C_  z )
33 ssdomg 7145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  C_  z  ->  w  ~<_  z ) )
344, 32, 33mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  w  ~<_  z )
35 domnsym 7225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  ~<_  z  ->  -.  z  ~<  w )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  /\  w  e.  A )  ->  -.  z  ~<  w
)
3736nrexdv 2801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  E. w  e.  A  z 
~<  w )
38373expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y  ->  -.  E. w  e.  A  z  ~<  w ) )
3915, 38pm2.65d 168 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
40 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )
4139, 40nsyl 115 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4241rexlimiva 2817 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  om  A  =  suc  z  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
433, 42jaoi 369 . . . 4  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. z  e.  om  A  =  suc  z )  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
441, 43syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y ) )
4544con2i 114 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  -.  A  e.  om )
46 ordom 4846 . . 3  |-  Ord  om
47 eloni 4583 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
48473ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  Ord  A )
49 ordtri1 4606 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  A )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5046, 48, 49sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  ( om  C_  A  <->  -.  A  e.  om ) )
5145, 50mpbird 224 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  On  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  A  x  ~<  y )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100
This theorem is referenced by:  winainf  8561  tskcard  8648  gruina  8685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104
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