Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunr1om Structured version   Unicode version

Theorem wunr1om 8594
 Description: A weak universe is infinite, because it contains all the finite levels of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wun0.1 WUni
Assertion
Ref Expression
wunr1om

Proof of Theorem wunr1om
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1fnon 7693 . . . . . 6
2 fnfun 5542 . . . . . 6
31, 2ax-mp 8 . . . . 5
4 fvelima 5778 . . . . 5
53, 4mpan 652 . . . 4
6 fveq2 5728 . . . . . . . 8
76eleq1d 2502 . . . . . . 7
8 fveq2 5728 . . . . . . . 8
98eleq1d 2502 . . . . . . 7
10 fveq2 5728 . . . . . . . 8
1110eleq1d 2502 . . . . . . 7
12 r10 7694 . . . . . . . 8
13 wun0.1 . . . . . . . . 9 WUni
1413wun0 8593 . . . . . . . 8
1512, 14syl5eqel 2520 . . . . . . 7
1613adantr 452 . . . . . . . . . 10 WUni
17 simpr 448 . . . . . . . . . 10
1816, 17wunpw 8582 . . . . . . . . 9
19 nnon 4851 . . . . . . . . . . 11
20 r1suc 7696 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221eleq1d 2502 . . . . . . . . 9
2318, 22syl5ibr 213 . . . . . . . 8
2423exp3a 426 . . . . . . 7
257, 9, 11, 15, 24finds2 4873 . . . . . 6
26 eleq1 2496 . . . . . . 7
2726imbi2d 308 . . . . . 6
2825, 27syl5ibcom 212 . . . . 5
2928rexlimiv 2824 . . . 4
305, 29syl 16 . . 3
3130com12 29 . 2
3231ssrdv 3354 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  con0 4581   csuc 4583  com 4845  cima 4881   wfun 5448   wfn 5449  cfv 5454  cr1 7688  WUnicwun 8575 This theorem is referenced by:  wunom  8595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-wun 8577
 Copyright terms: Public domain W3C validator