Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkoopn Structured version   Unicode version

Theorem xkoopn 17613
 Description: A basic open set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoopn.x
xkoopn.r
xkoopn.s
xkoopn.a
xkoopn.c t
xkoopn.u
Assertion
Ref Expression
xkoopn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem xkoopn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6098 . . . . . . 7
21pwex 4374 . . . . . 6
3 xkoopn.x . . . . . . . 8
4 eqid 2435 . . . . . . . 8 t t
5 eqid 2435 . . . . . . . 8 t t
63, 4, 5xkotf 17609 . . . . . . 7 t t
7 frn 5589 . . . . . . 7 t t t
86, 7ax-mp 8 . . . . . 6 t
92, 8ssexi 4340 . . . . 5 t
10 ssfii 7416 . . . . 5 t t t
119, 10ax-mp 8 . . . 4 t t
12 fvex 5734 . . . . 5 t
13 bastg 17023 . . . . 5 t t t
1412, 13ax-mp 8 . . . 4 t t
1511, 14sstri 3349 . . 3 t t
16 xkoopn.a . . . . . . 7
17 xkoopn.r . . . . . . . 8
183topopn 16971 . . . . . . . 8
19 elpw2g 4355 . . . . . . . 8
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . 7
2116, 20mpbird 224 . . . . . 6
22 xkoopn.c . . . . . 6 t
23 oveq2 6081 . . . . . . . 8 t t
2423eleq1d 2501 . . . . . . 7 t t
2524elrab 3084 . . . . . 6 t t
2621, 22, 25sylanbrc 646 . . . . 5 t
27 xkoopn.u . . . . 5
28 eqidd 2436 . . . . 5
29 imaeq2 5191 . . . . . . . . 9
3029sseq1d 3367 . . . . . . . 8
3130rabbidv 2940 . . . . . . 7
3231eqeq2d 2446 . . . . . 6
33 sseq2 3362 . . . . . . . 8
3433rabbidv 2940 . . . . . . 7
3534eqeq2d 2446 . . . . . 6
3632, 35rspc2ev 3052 . . . . 5 t t
3726, 27, 28, 36syl3anc 1184 . . . 4 t
381rabex 4346 . . . . 5
39 eqeq1 2441 . . . . . 6
40392rexbidv 2740 . . . . 5 t t
415rnmpt2 6172 . . . . 5 t t
4238, 40, 41elab2 3077 . . . 4 t t
4337, 42sylibr 204 . . 3 t
4415, 43sseldi 3338 . 2 t
45 xkoopn.s . . 3
463, 4, 5xkoval 17611 . . 3 t
4717, 45, 46syl2anc 643 . 2 t
4844, 47eleqtrrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   cxp 4868   crn 4871  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cfi 7407   ↾t crest 13640  ctg 13657  ctop 16950   ccn 17280  ccmp 17441   cxko 17585 This theorem is referenced by:  xkouni  17623  xkohaus  17677  xkoptsub  17678  xkoco1cn  17681  xkoco2cn  17682  xkococnlem  17683 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-top 16955  df-xko 17587
 Copyright terms: Public domain W3C validator