MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Unicode version

Theorem xmet0 17901
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2284 . 2  |-  A  =  A
2 xmeteq0 17897 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
323anidm23 1246 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
41, 3mpbiri 226 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   0cc0 8732   * Metcxmt 16363
This theorem is referenced by:  met0  17902  xmetge0  17903  xmetsym  17906  xblcntr  17957  ssbl  17965  xmeter  17973  ubthlem2  21442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-map 6769  df-xr 8866  df-xmet 16367
  Copyright terms: Public domain W3C validator