MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Unicode version

Theorem xmet0 17869
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2258 . 2  |-  A  =  A
2 xmeteq0 17865 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
323anidm23 1246 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
41, 3mpbiri 226 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   * Metcxmt 16331
This theorem is referenced by:  met0  17870  xmetge0  17871  xmetsym  17874  xblcntr  17925  ssbl  17933  xmeter  17941  ubthlem2  21410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-map 6742  df-xr 8839  df-xmet 16335
  Copyright terms: Public domain W3C validator