MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Unicode version

Theorem xmet0 18360
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2  |-  A  =  A
2 xmeteq0 18356 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
323anidm23 1243 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
41, 3mpbiri 225 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   0cc0 8979   * Metcxmt 16674
This theorem is referenced by:  met0  18361  xmetge0  18362  xmetsym  18365  xmetpsmet  18366  xblcntr  18429  ssbl  18441  xmeter  18451  metustidOLD  18577  ubthlem2  22361  sitmcl  24651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-map 7011  df-xr 9113  df-xmet 16683
  Copyright terms: Public domain W3C validator