MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Unicode version

Theorem xmetcl 17858
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 17856 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 5924 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621    X. cxp 4659   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RR*cxr 8834   * Metcxmt 16331
This theorem is referenced by:  xmetge0  17871  xmetlecl  17873  xmetsym  17874  xmetrtri  17881  xmetrtri2  17882  xmetgt0  17884  prdsdsf  17893  prdsxmetlem  17894  imasdsf1olem  17899  imasf1oxmet  17901  xpsdsval  17907  xblpnf  17915  bldisj  17917  blgt0  17918  xblss2  17920  blhalf  17922  xbln0  17927  blin  17932  blss  17934  xmscl  17970  prdsbl  17999  blsscls2  18012  blcld  18013  blcls  18014  comet  18021  stdbdxmet  18023  stdbdmet  18024  stdbdbl  18025  tmsxpsval2  18047  metcnpi3  18054  txmetcnp  18055  xrsmopn  18280  metdcnlem  18303  metdsf  18314  metdsge  18315  metdstri  18317  metdsle  18318  metdscnlem  18321  metnrmlem1  18325  metnrmlem3  18327  lmnn  18651  iscfil2  18654  iscau3  18666  dvlip2  19304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-map 6742  df-xr 8839  df-xmet 16335
  Copyright terms: Public domain W3C validator