MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Unicode version

Theorem xmetcl 17890
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 17888 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 5951 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1217 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 936    e. wcel 1685    X. cxp 4686   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RR*cxr 8861   * Metcxmt 16363
This theorem is referenced by:  xmetge0  17903  xmetlecl  17905  xmetsym  17906  xmetrtri  17913  xmetrtri2  17914  xmetgt0  17916  prdsdsf  17925  prdsxmetlem  17926  imasdsf1olem  17931  imasf1oxmet  17933  xpsdsval  17939  xblpnf  17947  bldisj  17949  blgt0  17950  xblss2  17952  blhalf  17954  xbln0  17959  blin  17964  blss  17966  xmscl  18002  prdsbl  18031  blsscls2  18044  blcld  18045  blcls  18046  comet  18053  stdbdxmet  18055  stdbdmet  18056  stdbdbl  18057  tmsxpsval2  18079  metcnpi3  18086  txmetcnp  18087  xrsmopn  18312  metdcnlem  18335  metdsf  18346  metdsge  18347  metdstri  18349  metdsle  18350  metdscnlem  18353  metnrmlem1  18357  metnrmlem3  18359  lmnn  18683  iscfil2  18686  iscau3  18698  dvlip2  19336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-map 6769  df-xr 8866  df-xmet 16367
  Copyright terms: Public domain W3C validator