MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Unicode version

Theorem xmetcl 17896
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 17894 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 5990 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1215 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  xmetge0  17909  xmetlecl  17911  xmetsym  17912  xmetrtri  17919  xmetrtri2  17920  xmetgt0  17922  prdsdsf  17931  prdsxmetlem  17932  imasdsf1olem  17937  imasf1oxmet  17939  xpsdsval  17945  xblpnf  17953  bldisj  17955  blgt0  17956  xblss2  17958  blhalf  17960  xbln0  17965  blin  17970  blss  17972  xmscl  18008  prdsbl  18037  blsscls2  18050  blcld  18051  blcls  18052  comet  18059  stdbdxmet  18061  stdbdmet  18062  stdbdbl  18063  tmsxpsval2  18085  metcnpi3  18092  txmetcnp  18093  xrsmopn  18318  metdcnlem  18341  metdsf  18352  metdsge  18353  metdstri  18355  metdsle  18356  metdscnlem  18359  metnrmlem1  18363  metnrmlem3  18365  lmnn  18689  iscfil2  18692  iscau3  18704  dvlip2  19342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-xr 8871  df-xmet 16373
  Copyright terms: Public domain W3C validator