MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetge0 18366
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  A  e.  X )
3 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  B  e.  X )
4 xmettri2 18362 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B D B )  <_  ( ( A D B ) + e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) + e ( A D B ) ) )
6 xmet0 18364 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10061 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9122 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 10838 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 x e 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 x e 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2486 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 x e 0 )  =  ( B D B ) )
13 xmetcl 18353 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
14 x2times 10870 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 x e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 x e ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) + e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4234 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 x e 0 )  <_  ( 2 x e ( A D B ) ) )
17 0xr 9123 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 10609 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 10862 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 x e 0 )  <_  ( 2 x e ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 x e 0 )  <_  ( 2 x e ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 224 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   2c2 10041   RR+crp 10604   + ecxad 10700   x ecxmu 10701   * Metcxmt 16678
This theorem is referenced by:  metge0  18367  xmetlecl  18368  xmetrtri  18377  xmetgt0  18380  prdsxmetlem  18390  imasdsf1olem  18395  xpsdsval  18403  xblpnf  18418  blgt0  18421  xblss2  18424  xbln0  18436  xmsge0  18485  comet  18535  stdbdxmet  18537  stdbdmet  18538  metustexhalfOLD  18585  xrsmopn  18835  metdsf  18870  metdstri  18873  metdscnlem  18877  iscfil2  19211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-xmet 16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator