MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettri Structured version   Unicode version

Theorem xmettri 18373
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( A D C ) + e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  C  e.  X )
3 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
4 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
5 xmettri2 18362 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) + e ( C D B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) + e ( C D B ) ) )
7 xmetsym 18369 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  C  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( C D A )  =  ( A D C ) )
81, 2, 3, 7syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( C D A )  =  ( A D C ) )
98oveq1d 6088 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( C D A ) + e
( C D B ) )  =  ( ( A D C ) + e ( C D B ) ) )
106, 9breqtrd 4228 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( A D C ) + e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    <_ cle 9113   + ecxad 10700   * Metcxmt 16678
This theorem is referenced by:  xmettri3  18375  xmetrtri  18377  imasdsf1olem  18395  xmeter  18455  xmstri  18490  metustexhalfOLD  18585  metdcnlem  18859  iscau3  19223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-xadd 10703  df-xmet 16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator