MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri Unicode version

Theorem xmstri 18486
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmstri  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2xmsxmet2 18477 . . 3  |-  ( M  e.  * MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X
) )
4 xmettri 18369 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
53, 4sylan 458 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) + e
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
6 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6205 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
106, 9ovresd 6205 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  =  ( A D C ) )
119, 7ovresd 6205 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 6090 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4233 1  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    X. cxp 4867    |` cres 4871   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    <_ cle 9110   + ecxad 10697   Basecbs 13457   distcds 13526   * Metcxmt 16674   * MetSpcxme 18335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-xms 18338
  Copyright terms: Public domain W3C validator