MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri Unicode version

Theorem xmstri 18009
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmstri  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2xmsxmet2 18000 . . 3  |-  ( M  e.  * MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X
) )
4 xmettri 17910 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
53, 4sylan 459 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) + e
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
6 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 5950 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
106, 9ovresd 5950 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  =  ( A D C ) )
119, 7ovresd 5950 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 5838 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4054 1  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4025    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5222  (class class class)co 5820    <_ cle 8864   + ecxad 10446   Basecbs 13143   distcds 13212   * Metcxmt 16364   * MetSpcxme 17877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-topgen 13339  df-xmet 16368  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-topsp 16635  df-xms 17880
  Copyright terms: Public domain W3C validator