MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0r Unicode version

Theorem xp0r 4756
Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
xp0r  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)

Proof of Theorem xp0r
StepHypRef Expression
1 elxp 4694 . . 3  |-  ( z  e.  ( (/)  X.  A
)  <->  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) ) )
2 noel 3434 . . . . . . 7  |-  -.  x  e.  (/)
3 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  (/) )
42, 3mto 169 . . . . . 6  |-  -.  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )
54nex 1587 . . . . 5  |-  -.  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )
65nex 1587 . . . 4  |-  -.  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  (/)  /\  y  e.  A
) )
7 noel 3434 . . . 4  |-  -.  z  e.  (/)
86, 72false 341 . . 3  |-  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )  <->  z  e.  (/) )
91, 8bitri 242 . 2  |-  ( z  e.  ( (/)  X.  A
)  <->  z  e.  (/) )
109eqriv 2255 1  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   <.cop 3617    X. cxp 4659
This theorem is referenced by:  dmxpid  4886  res0  4947  xp0  5086  xpnz  5087  xpdisj1  5089  xpcan2  5101  unixp  5192  unixpid  5194  difxp2  6089  fodomr  6980  xpfi  7096  cdaassen  7776  iundom2g  8130  alephadd  8167  hashxplem  11351  ramcl  13039  txindislem  17290  txhaus  17304  tmdgsum  17741  fixpc  24461  0alg  25124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-opab 4052  df-xp 4675
  Copyright terms: Public domain W3C validator