Theorem xp0r 3235

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
xp0r	|- ((/) X. A) = (/)

Proof of Theorem xp0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3198	. . 3 |- (z e. ((/) X. A) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)))
2		noel 2281	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 414	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) -> x e. (/))
4	2, 3	mto 106	. . . . . 6 |- -. (z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
5	4	nex 1100	. . . . 5 |- -. E.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
6	5	nex 1100	. . . 4 |- -. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
7		noel 2281	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 718	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/))
9	1, 8	bitr 173	. 2 |- (z e. ((/) X. A) <-> z e. (/))
10	9	eqriv 1473	1 |- ((/) X. A) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  (/)c0 2277  <.cop 2408   X. cxp 3164

This theorem is referenced by:  dmxpid 3329  res0 3367  xp0 3461  xpnz 3462  xpdisj1 3464  rnxpss 3470  unixp 3513  fconst 3653  fodomr 4472  cda0en 4908  cdaassen 4913  alephadd 7542  0met 7787  0alg 10605

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-opab 2663  df-xp 3180

Copyright terms: Public domain