MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0r Unicode version

Theorem xp0r 4721
Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
xp0r  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)

Proof of Theorem xp0r
StepHypRef Expression
1 elxp 4659 . . 3  |-  ( z  e.  ( (/)  X.  A
)  <->  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) ) )
2 noel 3401 . . . . . . 7  |-  -.  x  e.  (/)
3 simprl 735 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  (/) )
42, 3mto 169 . . . . . 6  |-  -.  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )
54nex 1587 . . . . 5  |-  -.  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )
65nex 1587 . . . 4  |-  -.  E. x E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  (/)  /\  y  e.  A
) )
7 noel 3401 . . . 4  |-  -.  z  e.  (/)
86, 72false 341 . . 3  |-  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  (/)  /\  y  e.  A ) )  <->  z  e.  (/) )
91, 8bitri 242 . 2  |-  ( z  e.  ( (/)  X.  A
)  <->  z  e.  (/) )
109eqriv 2253 1  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3397   <.cop 3584    X. cxp 4624
This theorem is referenced by:  dmxpid  4851  res0  4912  xp0  5051  xpnz  5052  xpdisj1  5054  xpcan2  5066  unixp  5157  unixpid  5159  difxp2  6054  fodomr  6945  xpfi  7061  cdaassen  7741  iundom2g  8095  alephadd  8132  hashxplem  11315  ramcl  13003  txindislem  17254  txhaus  17268  tmdgsum  17705  fixpc  24425  0alg  25088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-opab 4018  df-xp 4640
  Copyright terms: Public domain W3C validator