Theorem xpcomen 4428

Description: Commutative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254.

Hypotheses

Ref	Expression
xpcomen.1	|- A e. V
xpcomen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
xpcomen	|- (A X. B) ~~ (B X. A)

Proof of Theorem xpcomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomen.1	. . 3 |- A e. V
2		xpcomen.2	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	xpex 3256	. 2 |- (A X. B) e. V
4		snex 2746	. . . . 5 |- {x} e. V
5	4	cnvex 3516	. . . 4 |- `'{x} e. V
6	5	uniex 2866	. . 3 |- U.`'{x} e. V
7	6	a1i 8	. 2 |- (x e. (A X. B) -> U.`'{x} e. V)
8		snex 2746	. . . . 5 |- {y} e. V
9	8	cnvex 3516	. . . 4 |- `'{y} e. V
10	9	uniex 2866	. . 3 |- U.`'{y} e. V
11	10	a1i 8	. 2 |- (y e. (B X. A) -> U.`'{y} e. V)
12		sneq 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.z, w>. -> {x} = {<.z, w>.})
13		cnveq 3288	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x} = {<.z, w>.} -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
14	12, 13	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
15		visset 1810	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
16		visset 1810	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. V
17	15, 16	cnvsn 3445	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.z, w>.} = {<.w, z>.}
18	14, 17	syl6eq 1521	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = {<.w, z>.})
19	18	unieqd 2508	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, w>. -> U.`'{x} = U.{<.w, z>.})
20		opex 2778	. . . . . . . . . 10 |- <.w, z>. e. V
21	20	unisn 2513	. . . . . . . . 9 |- U.{<.w, z>.} = <.w, z>.
22	19, 21	syl6req 1522	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, w>. -> <.w, z>. = U.`'{x})
23		sneq 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.w, z>. -> {y} = {<.w, z>.})
24		cnveq 3288	. . . . . . . . . . . 12 |- ({y} = {<.w, z>.} -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
25	23, 24	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
26	16, 15	cnvsn 3445	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.w, z>.} = {<.z, w>.}
27	25, 26	syl6eq 1521	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = {<.z, w>.})
28	27	unieqd 2508	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w, z>. -> U.`'{y} = U.{<.z, w>.})
29		opex 2778	. . . . . . . . . 10 |- <.z, w>. e. V
30	29	unisn 2513	. . . . . . . . 9 |- U.{<.z, w>.} = <.z, w>.
31	28, 30	syl6req 1522	. . . . . . . 8 |- (y = <.w, z>. -> <.z, w>. = U.`'{y})
32	22, 31	eq2tr 1531	. . . . . . 7 |- ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) <-> (y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}))
33		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((z e. A /\ w e. B) <-> (w e. B /\ z e. A))
34	32, 33	anbi12i 482	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
35		an23 485	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)))
36		an23 485	. . . . . 6 |- (((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
37	34, 35, 36	3bitr4 183	. . . . 5 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
38	37	2exbii 1051	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
39		19.41vv 1305	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
40		19.41vv 1305	. . . 4 |- (E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
41	38, 39, 40	3bitr3 181	. . 3 |- ((E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
42		elxp 3198	. . . 4 |- (x e. (A X. B) <-> E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
43	42	anbi1i 481	. . 3 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
44		elxp 3198	. . . . 5 |- (y e. (B X. A) <-> E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
45		excom 1045	. . . . 5 |- (E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
46	44, 45	bitr 173	. . . 4 |- (y e. (B X. A) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
47	46	anbi1i 481	. . 3 |- ((y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
48	41, 43, 47	3bitr4 183	. 2 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}))
49	3, 7, 11, 48	en2 4392	1 |- (A X. B) ~~ (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808  {csn 2406  <.cop 2408  U.cuni 2499   class class class wbr 2615   X. cxp 3164  `'ccnv 3165   ~~ cen 4357

This theorem is referenced by:  xpcomeng 4429  xpdom1 4432  xpen 4477  cdaassen 4913  infxp 7532  iunctb 7535  infmap2 7541

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360

Copyright terms: Public domain