MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcomeng Unicode version

Theorem xpcomeng 6887
Description: Commutative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 27-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpcomeng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  ~~  ( B  X.  A ) )

Proof of Theorem xpcomeng
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4656 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  y )  =  ( A  X.  y ) )
2 xpeq2 4657 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
y  X.  x )  =  ( y  X.  A ) )
31, 2breq12d 3976 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  X.  y
)  ~~  ( y  X.  x )  <->  ( A  X.  y )  ~~  (
y  X.  A ) ) )
4 xpeq2 4657 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( A  X.  y )  =  ( A  X.  B
) )
5 xpeq1 4656 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  X.  A )  =  ( B  X.  A ) )
64, 5breq12d 3976 . 2  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  X.  y
)  ~~  ( y  X.  A )  <->  ( A  X.  B )  ~~  ( B  X.  A ) ) )
7 vex 2743 . . 3  |-  x  e. 
_V
8 vex 2743 . . 3  |-  y  e. 
_V
97, 8xpcomen 6886 . 2  |-  ( x  X.  y )  ~~  ( y  X.  x
)
103, 6, 9vtocl2g 2798 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  ~~  ( B  X.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963    X. cxp 4624    ~~ cen 6793
This theorem is referenced by:  xpsnen2g  6888  xpdom1g  6892  omxpen  6897  xpfir  7018  infxp  7774  infmap2  7777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-en 6797
  Copyright terms: Public domain W3C validator