Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpct Structured version   Unicode version

Theorem xpct 24094
Description: The cartesian product of two countable sets is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
xpct  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )

Proof of Theorem xpct
StepHypRef Expression
1 ctex 24092 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  B  e.  _V )
3 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
4 xpdom1g 7197 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om  X.  B ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  B ) )
6 omex 7590 . . . . 5  |-  om  e.  _V
76xpdom2 7195 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( om  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
87adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( om  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
9 domtr 7152 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  B
)  ~<_  ( om  X.  B )  /\  ( om  X.  B )  ~<_  ( om  X.  om )
)  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
105, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
11 xpomen 7889 . 2  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
12 domentr 7158 . 2  |-  ( ( ( A  X.  B
)  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )
1310, 11, 12sylancl 644 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  B )  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   omcom 4837    X. cxp 4868    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099
This theorem is referenced by:  mpt2cti  24102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818
  Copyright terms: Public domain W3C validator