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Theorem xpdom2 6925
Description: Dominance law for cross product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpdom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )

Proof of Theorem xpdom2
StepHypRef Expression
1 brdomi 6841 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 f1f 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
3 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> B  /\  U.
ran  {  x }  e.  A )  ->  (
f `  U. ran  {  x } )  e.  B
)
43ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( U. ran  {  x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( U. ran  {  x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) )
65anim2d 550 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A )  ->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  {  x } )  e.  B ) ) )
76adantld 455 . . . . . . 7  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  = 
<. U. dom  {  x } ,  U. ran  {  x } >.  /\  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A
) )  ->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  (
f `  U. ran  {  x } )  e.  B
) ) )
8 elxp4 5147 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  ( x  =  <. U. dom  {  x } ,  U. ran  {  x } >.  /\  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  U. ran  {  x }  e.  A
) ) )
9 opelxp 4707 . . . . . . 7  |-  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  e.  ( C  X.  B )  <->  ( U. dom  {  x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  {  x }
)  e.  B ) )
107, 8, 93imtr4g 263 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
1110adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
12 elxp2 4695 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >. )
13 elxp2 4695 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( C  X.  A )  <->  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )
14 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
15 fvex 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f `
 w )  e. 
_V
1614, 15opth 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. 
<->  ( z  =  v  /\  ( f `  w )  =  ( f `  u ) ) )
17 f1fveq 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
( f `  w
)  =  ( f `
 u )  <->  w  =  u ) )
1817ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( f `  w )  =  ( f `  u )  <-> 
w  =  u ) )
1918anbi2d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( z  =  v  /\  ( f `
 w )  =  ( f `  u
) )  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2016, 19syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2120ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2221ad2ant2l 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  C  /\  u  e.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2322imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2423adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
25 sneq 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  { x }  =  { <. z ,  w >. } )
2625dmeqd 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  dom  {  x }  =  dom  { <. z ,  w >. } )
2726unieqd 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  {  x }  =  U. dom  { <. z ,  w >. } )
28 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2914, 28op1sta 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
3027, 29syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  {  x }  =  z )
3125rneqd 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ran  {  x }  =  ran  { <. z ,  w >. } )
3231unieqd 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  {  x }  =  U. ran  { <. z ,  w >. } )
3314, 28op2nda 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
3432, 33syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  {  x }  =  w )
3534fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( f `  U. ran  {  x }
)  =  ( f `
 w ) )
3630, 35opeq12d 3778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. z ,  ( f `  w ) >. )
37 sneq 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  { y }  =  { <. v ,  u >. } )
3837dmeqd 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  dom  {  y }  =  dom  { <. v ,  u >. } )
3938unieqd 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  {  y }  =  U. dom  { <. v ,  u >. } )
40 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
41 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  u  e. 
_V
4240, 41op1sta 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. v ,  u >. }  =  v
4339, 42syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  {  y }  =  v )
4437rneqd 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ran  {  y }  =  ran  { <. v ,  u >. } )
4544unieqd 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  {  y }  =  U. ran  { <. v ,  u >. } )
4640, 41op2nda 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. v ,  u >. }  =  u
4745, 46syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  {  y }  =  u )
4847fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f `  U. ran  {  y } )  =  ( f `
 u ) )
4943, 48opeq12d 3778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >. )
5036, 49eqeqan12d 2273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( <. U.
dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
5150ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. ) )
52 eqeq12 2270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. ) )
5314, 28opth 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
5452, 53syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5554ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  =  y  <-> 
( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5624, 51, 553bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) )
5756exp53 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5857com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  (
( v  e.  C  /\  u  e.  A
)  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958rexlimivv 2647 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  -> 
( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) ) ) )
6059rexlimdvv 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >.  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) )
6160imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  /\  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x }
) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6212, 13, 61syl2anb 467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C  X.  A )  /\  y  e.  ( C  X.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U. dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6362com12 29 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) )
6463adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  {  x } ,  ( f `  U. ran  {  x } ) >.  =  <. U.
dom  {  y } ,  ( f `  U. ran  {  y } ) >.  <->  x  =  y
) ) )
65 xpdom.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
66 reldom 6837 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
6766brrelexi 4717 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
68 xpexg 4788 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( C  X.  A
)  e.  _V )
6965, 67, 68sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  e.  _V )
7069adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  e.  _V )
7166brrelex2i 4718 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
72 xpexg 4788 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  X.  B
)  e.  _V )
7365, 71, 72sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  B )  e.  _V )
7473adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  B
)  e.  _V )
7511, 64, 70, 74dom3d 6871 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  ~<_  ( C  X.  B ) )
7675ex 425 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
7776exlimdv 1933 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
781, 77mpd 16 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   _Vcvv 2763   {csn 3614   <.cop 3617   U.cuni 3801   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   dom cdm 4661   ran crn 4662   -->wf 4669   -1-1->wf1 4670   ` cfv 4673    ~<_ cdom 6829
This theorem is referenced by:  xpdom2g  6926  infxpenlem  7609  cfpwsdom  8174  inar1  8365  rexpen  12469  2ndcctbss  17144  tx1stc  17307  tx2ndc  17308  met2ndci  18031  mbfimaopnlem  18973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fv 4689  df-dom 6833
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