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Theorem xpdom2 6959
Description: Dominance law for cross product. Proposition 10.33(2) of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xpdom.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpdom2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )

Proof of Theorem xpdom2
Dummy variables  u  f  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6875 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
2 f1f 5439 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
3 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A --> B  /\  U.
ran  { x }  e.  A )  ->  (
f `  U. ran  {
x } )  e.  B )
43ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( U. ran  {
x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) )
52, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( U. ran  {
x }  e.  A  ->  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) )
65anim2d 548 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A )  ->  ( U. dom  {
x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  { x } )  e.  B ) ) )
76adantld 453 . . . . . . 7  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  = 
<. U. dom  { x } ,  U. ran  {
x } >.  /\  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A
) )  ->  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  (
f `  U. ran  {
x } )  e.  B ) ) )
8 elxp4 5162 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  ( x  =  <. U. dom  { x } ,  U. ran  {
x } >.  /\  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  U. ran  { x }  e.  A
) ) )
9 opelxp 4721 . . . . . . 7  |-  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  e.  ( C  X.  B )  <->  ( U. dom  { x }  e.  C  /\  ( f `  U. ran  { x }
)  e.  B ) )
107, 8, 93imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  e.  ( C  X.  A )  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
12 elxp2 4709 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  X.  A )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >. )
13 elxp2 4709 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( C  X.  A )  <->  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )
14 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
15 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f `
 w )  e. 
_V
1614, 15opth 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. 
<->  ( z  =  v  /\  ( f `  w )  =  ( f `  u ) ) )
17 f1fveq 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
( f `  w
)  =  ( f `
 u )  <->  w  =  u ) )
1817ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( f `  w )  =  ( f `  u )  <-> 
w  =  u ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( z  =  v  /\  ( f `
 w )  =  ( f `  u
) )  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2016, 19syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2221ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A
)  /\  ( v  e.  C  /\  u  e.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. z ,  ( f `  w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u ) >.  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) ) )
2322imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
2423adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. z ,  ( f `  w )
>.  =  <. v ,  ( f `  u
) >. 
<->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
25 sneq 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  { x }  =  { <. z ,  w >. } )
2625dmeqd 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. z ,  w >. } )
2726unieqd 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. z ,  w >. } )
28 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2914, 28op1sta 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
3027, 29syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. dom  { x }  =  z )
3125rneqd 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ran  { x }  =  ran  { <. z ,  w >. } )
3231unieqd 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  { x }  =  U. ran  { <. z ,  w >. } )
3314, 28op2nda 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
3432, 33syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  U. ran  { x }  =  w )
3534fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( f `  U. ran  { x }
)  =  ( f `
 w ) )
3630, 35opeq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. z ,  ( f `  w ) >. )
37 sneq 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  { y }  =  { <. v ,  u >. } )
3837dmeqd 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  dom  { y }  =  dom  { <. v ,  u >. } )
3938unieqd 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  { y }  =  U. dom  {
<. v ,  u >. } )
40 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
41 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  u  e. 
_V
4240, 41op1sta 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. dom  {
<. v ,  u >. }  =  v
4339, 42syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. dom  { y }  =  v )
4437rneqd 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ran  { y }  =  ran  { <. v ,  u >. } )
4544unieqd 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  { y }  =  U. ran  {
<. v ,  u >. } )
4640, 41op2nda 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ran  {
<. v ,  u >. }  =  u
4745, 46syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  U. ran  { y }  =  u )
4847fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f `  U. ran  { y } )  =  ( f `
 u ) )
4943, 48opeq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. )
5036, 49eqeqan12d 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( <. U.
dom  { x } , 
( f `  U. ran  { x } )
>.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  <.
z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
5150ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<-> 
<. z ,  ( f `
 w ) >.  =  <. v ,  ( f `  u )
>. ) )
52 eqeq12 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. z ,  w >.  =  <. v ,  u >. ) )
5314, 28opth 4247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  w >.  = 
<. v ,  u >.  <->  (
z  =  v  /\  w  =  u )
)
5452, 53syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( x  =  y  <->  ( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5554ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( x  =  y  <-> 
( z  =  v  /\  w  =  u ) ) )
5624, 51, 553bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  /\  (
v  e.  C  /\  u  e.  A )
)  /\  ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )
)  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) )
5756exp53 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5857com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  A )  ->  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  (
( v  e.  C  /\  u  e.  A
)  ->  ( y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) ) ) )
5958rexlimivv 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( v  e.  C  /\  u  e.  A )  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  ->  ( f : A -1-1-> B  -> 
( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) ) ) )
6059rexlimdvv 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >.  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  <->  x  =  y ) ) ) )
6160imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  e.  C  E. w  e.  A  x  =  <. z ,  w >.  /\  E. v  e.  C  E. u  e.  A  y  =  <. v ,  u >. )  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x }
) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `  U. ran  { y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6212, 13, 61syl2anb 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( C  X.  A )  /\  y  e.  ( C  X.  A ) )  -> 
( f : A -1-1-> B  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U. dom  { y } ,  ( f `
 U. ran  {
y } ) >.  <->  x  =  y ) ) )
6362com12 27 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) )
6463adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( ( x  e.  ( C  X.  A
)  /\  y  e.  ( C  X.  A
) )  ->  ( <. U. dom  { x } ,  ( f `  U. ran  { x } ) >.  =  <. U.
dom  { y } , 
( f `  U. ran  { y } )
>. 
<->  x  =  y ) ) )
65 xpdom.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
66 reldom 6871 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
6766brrelexi 4731 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
68 xpexg 4802 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( C  X.  A
)  e.  _V )
6965, 67, 68sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  e.  _V )
7069adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  e.  _V )
7166brrelex2i 4732 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
72 xpexg 4802 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  X.  B
)  e.  _V )
7365, 71, 72sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  B )  e.  _V )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  B
)  e.  _V )
7511, 64, 70, 74dom3d 6905 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  f : A -1-1-> B )  -> 
( C  X.  A
)  ~<_  ( C  X.  B ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
7776exlimdv 1666 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) ) )
781, 77mpd 14 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( C  X.  A )  ~<_  ( C  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   {csn 3642   <.cop 3645   U.cuni 3829   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   dom cdm 4691   ran crn 4692   -->wf 5253   -1-1->wf1 5254   ` cfv 5257    ~<_ cdom 6863
This theorem is referenced by:  xpdom2g  6960  infxpenlem  7643  cfpwsdom  8208  inar1  8399  rexpen  12508  2ndcctbss  17183  tx1stc  17346  tx2ndc  17347  met2ndci  18070  mbfimaopnlem  19012  xpct  23340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fv 5265  df-dom 6867
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