MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexg Unicode version

Theorem xpexg 4800
Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. See also xpexgALT 6070. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
xpexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem xpexg
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4797 . 2  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
2 unexg 4521 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3 pwexg 4194 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ~P ( A  u.  B
)  e.  _V )
4 pwexg 4194 . . 3  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  e.  _V  ->  ~P ~P ( A  u.  B )  e.  _V )
52, 3, 43syl 18 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ~P ~P ( A  u.  B )  e. 
_V )
6 ssexg 4160 . 2  |-  ( ( ( A  X.  B
)  C_  ~P ~P ( A  u.  B
)  /\  ~P ~P ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
71, 5, 6sylancr 644 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687
This theorem is referenced by:  xpex  4801  resiexg  4997  cnvexg  5208  coexg  5215  fex2  5401  fabexg  5422  resfunexgALT  5738  cofunexg  5739  fnexALT  5742  opabex3  5769  oprabexd  5960  ofmresex  6118  mpt2exxg  6195  fnwelem  6230  tposexg  6248  erex  6684  pmex  6777  mapex  6778  pmvalg  6783  elpmg  6786  fvdiagfn  6812  ixpexg  6840  map1  6939  xpdom2  6957  xpdom3  6960  omxpen  6964  fodomr  7012  disjenex  7019  domssex2  7021  domssex  7022  mapxpen  7027  xpfi  7128  marypha1  7187  hartogslem2  7258  brwdom2  7287  wdom2d  7294  xpwdomg  7299  unxpwdom2  7302  harwdom  7304  ixpiunwdom  7305  fseqen  7654  dfac8b  7658  ac10ct  7661  cdaval  7796  cdaassen  7808  mapcdaen  7810  cdadom1  7812  cdainf  7818  hsmexlem2  8053  axdc2lem  8074  iundom2g  8162  fpwwe2lem2  8254  fpwwe2lem5  8256  fpwwe2lem12  8263  fpwwe2lem13  8264  fpwwelem  8267  canthwe  8273  pwxpndom  8288  gchhar  8293  wrdexg  11425  pwsbas  13386  pwsle  13391  pwssca  13395  isacs1i  13559  ssclem  13696  rescval2  13705  reschom  13707  rescabs  13710  setccofval  13914  ipolerval  14259  isga  14745  sylow2a  14930  lsmhash  15014  efgtf  15031  frgpcpbl  15068  frgp0  15069  frgpeccl  15070  frgpadd  15072  frgpmhm  15074  vrgpf  15077  vrgpinv  15078  frgpupf  15082  frgpup1  15084  frgpup2  15085  frgpup3lem  15086  frgpnabllem1  15161  frgpnabllem2  15162  gsum2d2  15225  gsumcom2  15226  gsumxp  15227  dprd2da  15277  opsrval  16216  opsrtoslem2  16226  lmfval  16962  txbasex  17261  txopn  17297  txcn  17320  txrest  17325  txindislem  17327  xkoinjcn  17381  tsmsxp  17837  ismet  17888  isxmet  17889  imasdsf1olem  17937  blfval  17947  bcthlem1  18746  bcthlem5  18750  isgrp2d  20902  isgrpda  20964  isrngod  21046  isvc  21137  fnct  23341  elsx  23525  cur1vald  25199  domrancur1b  25200  domrancur1clem  25201  domrancur1c  25202  valcurfn1  25204  sqpre  25238  inposet  25278  prismorcsetlem  25912  prismorcset  25914  lemindclsbu  25995  filnetlem3  26329  filnetlem4  26330  iscringd  26624  wdom2d2  27128  pwssplit3  27190  unxpwdom3  27256  matlmod  27479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-opab 4078  df-xp 4695
  Copyright terms: Public domain W3C validator