Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpinpreima2 Unicode version

Theorem xpinpreima2 24110
 Description: Rewrite the cartesian product of two sets as the intersection of their preimage by and , the projections on the first and second elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
xpinpreima2

Proof of Theorem xpinpreima2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss 4923 . . . . . 6
2 rabss2 3370 . . . . . 6
31, 2mp1i 12 . . . . 5
4 simprl 733 . . . . . . 7
5 simpll 731 . . . . . . . . 9
6 simprrl 741 . . . . . . . . 9
75, 6sseldd 3293 . . . . . . . 8
8 simplr 732 . . . . . . . . 9
9 simprrr 742 . . . . . . . . 9
108, 9sseldd 3293 . . . . . . . 8
117, 10jca 519 . . . . . . 7
12 elxp7 6319 . . . . . . 7
134, 11, 12sylanbrc 646 . . . . . 6
1413rabss3d 23840 . . . . 5
153, 14eqssd 3309 . . . 4
16 xp2 6324 . . . 4
1715, 16syl6reqr 2439 . . 3
18 inrab 3557 . . 3
1917, 18syl6eqr 2438 . 2
20 f1stres 6308 . . . . 5
21 ffn 5532 . . . . 5
22 fncnvima2 5792 . . . . 5
2320, 21, 22mp2b 10 . . . 4
24 fvres 5686 . . . . . 6
2524eleq1d 2454 . . . . 5
2625rabbiia 2890 . . . 4
2723, 26eqtri 2408 . . 3
28 f2ndres 6309 . . . . 5
29 ffn 5532 . . . . 5
30 fncnvima2 5792 . . . . 5
3128, 29, 30mp2b 10 . . . 4
32 fvres 5686 . . . . . 6
3332eleq1d 2454 . . . . 5
3433rabbiia 2890 . . . 4
3531, 34eqtri 2408 . . 3
3627, 35ineq12i 3484 . 2
3719, 36syl6eqr 2438 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  crab 2654  cvv 2900   cin 3263   wss 3264   cxp 4817  ccnv 4818   cres 4821  cima 4822   wfn 5390  wf 5391  cfv 5395  c1st 6287  c2nd 6288 This theorem is referenced by:  cnre2csqima  24114  sxbrsigalem2  24431  sxbrsiga  24435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-1st 6289  df-2nd 6290
 Copyright terms: Public domain W3C validator