Theorem xplm 8186

Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. Warning: The HTML proof page is 0.5MB in size.

Hypotheses

Ref	Expression
xplm.a	|- R e. V
xplm.b	|- S e. V
xplm.1	|- X = dom dom B
xplm.3	|- Y = dom dom C
xplm.5	|- B e. Met
xplm.6	|- C e. Met
xplm.7	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
xplm.9	|- F:NN-->X
xplm.10	|- G:NN-->Y
xplm.11	|- H = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = <.(F` k), (G` k)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xplm	|- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) <-> H(~~>m` D)<.R, S>.)

Distinct variable groups:   x,y,z,B   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   w,k,x,y,z,X   k,Y,w,x,y,z   k,F,w,x,y,z   k,G,w,x,y,z

Proof of Theorem xplm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3300	. . . . 5 |- ((R e. X /\ S e. Y) -> <.R, S>. e. (X X. Y))
2		xplm.5	. . . . . 6 |- B e. Met
3		xplm.a	. . . . . 6 |- R e. V
4		xplm.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom B
5	4	lmcl 8160	. . . . . 6 |- ((B e. Met /\ R e. V /\ F(~~>m` B)R) -> R e. X)
6	2, 3, 5	mp3an12 912	. . . . 5 |- (F(~~>m` B)R -> R e. X)
7		xplm.6	. . . . . 6 |- C e. Met
8		xplm.b	. . . . . 6 |- S e. V
9		xplm.3	. . . . . . 7 |- Y = dom dom C
10	9	lmcl 8160	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ S e. V /\ G(~~>m` C)S) -> S e. Y)
11	7, 8, 10	mp3an12 912	. . . . 5 |- (G(~~>m` C)S -> S e. Y)
12	1, 6, 11	syl2an 456	. . . 4 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> <.R, S>. e. (X X. Y))
13		1z 6327	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
14		nnuz 6566	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = (ZZ>=` 1)
15	4, 13, 14	lmcvg2 8144	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. Met /\ R e. V /\ F(~~>m` B)R) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
16	2, 15	mp3anl1 916	. . . . . . . . . . 11 |- (((R e. V /\ F(~~>m` B)R) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
17	3, 16	mpanl1 710	. . . . . . . . . 10 |- ((F(~~>m` B)R /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v))
18	9, 13, 14	lmcvg2 8144	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ S e. V /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
19	7, 18	mp3anl1 916	. . . . . . . . . . 11 |- (((S e. V /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
20	8, 19	mpanl1 710	. . . . . . . . . 10 |- ((G(~~>m` C)S /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v))
21	17, 20	anim12i 331	. . . . . . . . 9 |- (((F(~~>m` B)R /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (G(~~>m` C)S /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
22	21	anandirs 516	. . . . . . . 8 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
23		reeanv 1824	. . . . . . . . 9 |- (E.n e. NN E.p e. NN (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) <-> (E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
24		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n e. NN -> n e. RR)
25	24	adantr 389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> n e. RR)
26		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . 13 |- (p e. NN -> p e. RR)
27	26	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> p e. RR)
28		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((n e. RR /\ p e. RR /\ m e. RR) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
29		nnre 6074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m e. NN -> m e. RR)
30	28, 24, 26, 29	syl3an 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((n e. NN /\ p e. NN /\ m e. NN) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
31	30	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) -> ((n <_ p /\ p <_ m) -> n <_ m))
32	31	expdimp 375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) /\ n <_ p) -> (p <_ m -> n <_ m))
33	32	an1rs 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (p <_ m -> n <_ m))
34	33	ancrd 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (p <_ m -> (n <_ m /\ p <_ m)))
35	34	imim1d 28	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) /\ m e. NN) -> (((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
36	35	r19.20dva 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
37		simplr 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> p e. NN)
38	36, 37	jctild 604	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (p e. NN /\ A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))))
39		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j = p -> (j <_ m <-> p <_ m))
40	39	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j = p -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
41	40	ralbidv 1709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j = p -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
42	41	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((p e. NN /\ A.m e. NN (p <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
43	38, 42	syl6 22	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ n <_ p) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
44		letr 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((p e. RR /\ n e. RR /\ m e. RR) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
45	44, 26, 24, 29	syl3an 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((p e. NN /\ n e. NN /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
46	45	3com12 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((n e. NN /\ p e. NN /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
47	46	3expa 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) -> ((p <_ n /\ n <_ m) -> p <_ m))
48	47	expdimp 375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ m e. NN) /\ p <_ n) -> (n <_ m -> p <_ m))
49	48	an1rs 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (n <_ m -> p <_ m))
50	49	ancld 296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (n <_ m -> (n <_ m /\ p <_ m)))
51	50	imim1d 28	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) /\ m e. NN) -> (((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
52	51	r19.20dva 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
53		simpll 412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> n e. NN)
54	52, 53	jctild 604	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (n e. NN /\ A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))))
55		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j = n -> (j <_ m <-> n <_ m))
56	55	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j = n -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
57	56	ralbidv 1709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j = n -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) <-> A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
58	57	rcla4ev 1923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. NN /\ A.m e. NN (n <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
59	54, 58	syl6 22	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n e. NN /\ p e. NN) /\ p <_ n) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
60	25, 27, 43, 59	lecasei 5775	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> (A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
61		r19.26 1796	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.m e. NN ((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) <-> (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)))
62		prth 559	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
63	62	r19.20si 1752	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.m e. NN ((n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
64	61, 63	sylbir 199	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN ((n <_ m /\ p <_ m) -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
65	60, 64	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. NN /\ p e. NN) -> ((A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v))))
66	65	r19.23aivv 1794	. . . . . . . . 9 |- (E.n e. NN E.p e. NN (A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
67	23, 66	sylbir 199	. . . . . . . 8 |- ((E.n e. NN A.m e. NN (n <_ m -> ((F` m)BR) < v) /\ E.p e. NN A.m e. NN (p <_ m -> ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
68	22, 67	syl 10	. . . . . . 7 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)))
69		xplm.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
70		fvex 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F` m) e. V
71	70	op1st 4146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1st` <.(F` m), (G` m)>.) = (F` m)
72	71	eqcomi 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F` m) = (1st` <.(F` m), (G` m)>.)
73		fvex 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (G` m) e. V
74	70, 73	op2nd 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (2nd` <.(F` m), (G` m)>.) = (G` m)
75	74	eqcomi 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (G` m) = (2nd` <.(F` m), (G` m)>.)
76	3	op1st 4146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1st` <.R, S>.) = R
77	76	eqcomi 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = (1st` <.R, S>.)
78	3, 8	op2nd 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (2nd` <.R, S>.) = S
79	78	eqcomi 1522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = (2nd` <.R, S>.)
80	4, 9, 2, 7, 69, 72, 75, 77, 79	metxpdval 8039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((<.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y) /\ <.R, S>. e. (X X. Y)) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
81		opelxpi 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` m) e. X /\ (G` m) e. Y) -> <.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y))
82		xplm.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F:NN-->X
83	82	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (F` m) e. X)
84		xplm.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- G:NN-->Y
85	84	ffvelrni 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN -> (G` m) e. Y)
86	81, 83, 85	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. NN -> <.(F` m), (G` m)>. e. (X X. Y))
87	80, 86, 1	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NN /\ (R e. X /\ S e. Y)) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
88	87	ancoms 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)))
89	88	breq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
90		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` m)BR) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) -> (((F` m)BR) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
91		breq1 2695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` m)CS) = if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) -> (((G` m)CS) < v <-> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v))
92	90, 91	ifboth 2429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> if(((G` m)CS) < ((F` m)BR), ((F` m)BR), ((G` m)CS)) < v)
93	89, 92	syl5bir 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
94		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = m -> (F` k) = (F` m))
95		fveq2 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k = m -> (G` k) = (G` m))
96	94, 95	opeq12d 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = m -> <.(F` k), (G` k)>. = <.(F` m), (G` m)>.)
97		xplm.11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = <.(F` k), (G` k)>.)}
98		opex 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <.(F` m), (G` m)>. e. V
99	96, 97, 98	fvopab4 3891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m e. NN -> (H` m) = <.(F` m), (G` m)>.)
100	99	opreq1d 4033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> ((H` m)D<.R, S>.) = (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.))
101	100	breq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NN -> (((H` m)D<.R, S>.) < v <-> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
102	101	adantl 388	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> (((H` m)D<.R, S>.) < v <-> (<.(F` m), (G` m)>.D<.R, S>.) < v))
103	93, 102	sylibrd 202	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R e. X /\ S e. Y) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
104	6, 11	anim12i 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (R e. X /\ S e. Y))
105	103, 104	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ m e. NN) -> ((((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v) -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
106	105	imim2d 25	. . . . . . . . . 10 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ m e. NN) -> ((j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
107	106	r19.20dva 1755	. . . . . . . . 9 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
108	107	r19.22sdv 1784	. . . . . . . 8 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
109	108	adantr 389	. . . . . . 7 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> (((F` m)BR) < v /\ ((G` m)CS) < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
110	68, 109	mpd 26	. . . . . 6 |- (((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))
111	110	exp32 377	. . . . 5 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (v e. RR -> (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))))
112	111	r19.21aiv 1759	. . . 4 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))
113	12, 112	jca 286	. . 3 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> (<.R, S>. e. (X X. Y) /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))))
114	4, 9, 2, 7, 69	metxp 8044	. . . 4 |- D e. Met
115		opex 2858	. . . 4 |- <.R, S>. e. V
116		opelxpi 3300	. . . . . 6 |- (((F` k) e. X /\ (G` k) e. Y) -> <.(F` k), (G` k)>. e. (X X. Y))
117	82	ffvelrni 3929	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (F` k) e. X)
118	84	ffvelrni 3929	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (G` k) e. Y)
119	116, 117, 118	sylanc 473	. . . . 5 |- (k e. NN -> <.(F` k), (G` k)>. e. (X X. Y))
120	97, 119	fopab 3941	. . . 4 |- H:NN-->(X X. Y)
121		ltso 5666	. . . . . . . . 9 |- < Or RR
122	121	supex 4720	. . . . . . . 8 |- sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ) e. V
123	122, 69	dmoprab2 4185	. . . . . . 7 |- dom D = ((X X. Y) X. (X X. Y))
124	123	dmeqi 3403	. . . . . 6 |- dom dom D = dom ((X X. Y) X. (X X. Y))
125		dmxpid 3420	. . . . . 6 |- dom ((X X. Y) X. (X X. Y)) = (X X. Y)
126	124, 125	eqtr2i 1539	. . . . 5 |- (X X. Y) = dom dom D
127	126, 13, 14	lmbrf 8141	. . . 4 |- ((D e. Met /\ <.R, S>. e. V /\ H:NN-->(X X. Y)) -> (H(~~>m` D)<.R, S>. <-> (<.R, S>. e. (X X. Y) /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v)))))
128	114, 115, 120, 127	mp3an 922	. . 3 |- (H(~~>m` D)<.R, S>. <-> (<.R, S>. e. (X X. Y) /\ A.v e. RR (0 < v -> E.j e. NN A.m e. NN (j <_ m -> ((H` m)D<.R, S>.) < v))))
129	113, 128	sylibr 198	. 2 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) -> H(~~>m` D)<.R, S>.)
130		ffn 3734	. . . . . . . 8 |- (F:NN-->X -> F Fn NN)
131	82, 130	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- F Fn NN
132		dffn5 3869	. . . . . . 7 |- (F Fn NN <-> F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))})
133	131, 132	mpbi 187	. . . . . 6 |- F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))}
134	99	fveq2d 3839	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> (1st` (H` m)) = (1st` <.(F` m), (G` m)>.))
135	134, 71	syl6eq 1566	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> (1st` (H` m)) = (F` m))
136	135	eqeq2d 1529	. . . . . . . 8 |- (m e. NN -> (v = (1st` (H` m)) <-> v = (F` m)))
137	136	pm5.32i 648	. . . . . . 7 |- ((m e. NN /\ v = (1st` (H` m))) <-> (m e. NN /\ v = (F` m)))
138	137	opabbii 2745	. . . . . 6 |- {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (1st` (H` m)))} = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (F` m))}
139	133, 138	eqtr4i 1541	. . . . 5 |- F = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (1st` (H` m)))}
140		ffn 3734	. . . . . . . 8 |- (G:NN-->Y -> G Fn NN)
141	84, 140	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- G Fn NN
142		dffn5 3869	. . . . . . 7 |- (G Fn NN <-> G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))})
143	141, 142	mpbi 187	. . . . . 6 |- G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))}
144	99	fveq2d 3839	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN -> (2nd` (H` m)) = (2nd` <.(F` m), (G` m)>.))
145	144, 74	syl6eq 1566	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN -> (2nd` (H` m)) = (G` m))
146	145	eqeq2d 1529	. . . . . . . 8 |- (m e. NN -> (v = (2nd` (H` m)) <-> v = (G` m)))
147	146	pm5.32i 648	. . . . . . 7 |- ((m e. NN /\ v = (2nd` (H` m))) <-> (m e. NN /\ v = (G` m)))
148	147	opabbii 2745	. . . . . 6 |- {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (2nd` (H` m)))} = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (G` m))}
149	143, 148	eqtr4i 1541	. . . . 5 |- G = {<.m, v>. | (m e. NN /\ v = (2nd` (H` m)))}
150	3, 8, 4, 9, 2, 7, 69, 139, 149	xplmi 8184	. . . 4 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.R, S>.) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S)))
151		pm3.27 321	. . . . 5 |- ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) -> F(~~>m` B)R)
152		pm3.27 321	. . . . 5 |- ((G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S) -> G(~~>m` C)S)
153	151, 152	anim12i 331	. . . 4 |- (((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)R) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)S)) -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
154	150, 153	syl 10	. . 3 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.R, S>.) -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
155	120, 154	mpan 699	. 2 |- (H(~~>m` D)<.R, S>. -> (F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S))
156	129, 155	impbii 155	1 |- ((F(~~>m` B)R /\ G(~~>m` C)S) <-> H(~~>m` D)<.R, S>.)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857  ifcif 2415  {cpr 2468  <.cop 2469   class class class wbr 2692  {copab 2740   X. cxp 3249  dom cdm 3251   Fn wfn 3258  -->wf 3259  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  {copab2 4022  1stc1st 4138  2ndc2nd 4139  supcsup 4716  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   <_ cle 5449  NNcn 5450   < clt 5640  Metcme 7999  ~~>mclm 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-2 6116  df-z 6304  df-uz 6545  df-met 8003  df-lm 8133

Copyright terms: Public domain