Theorem xplmi2 7971

Description: Two sequences converge if the sequence of their ordered pairs converges. Part of Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. Note: The hypothesis S e. V is redundant but is kept for convenience.

Hypotheses

Ref	Expression
xplm.a	|- R e. V
xplm.b	|- S e. V
xplm.1	|- X = dom dom B
xplm.3	|- Y = dom dom C
xplm.5	|- B e. Met
xplm.6	|- C e. Met
xplm.7	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
xplmi.9	|- F = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (1st` (H` k)))}
xplmi.10	|- G = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (2nd` (H` k)))}

Assertion

Ref	Expression
xplmi2	|- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)R) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))

Distinct variable groups:   x,y,z,B   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   w,k,x,y,z,X   k,Y,w,x,y,z   x,F,y,z   x,G,y,z   k,H,w

Proof of Theorem xplmi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3738	. . 3 |- (1st` R) e. V
2		fvex 3738	. . 3 |- (2nd` R) e. V
3		xplm.1	. . 3 |- X = dom dom B
4		xplm.3	. . 3 |- Y = dom dom C
5		xplm.5	. . 3 |- B e. Met
6		xplm.6	. . 3 |- C e. Met
7		xplm.7	. . 3 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
8		xplmi.9	. . 3 |- F = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (1st` (H` k)))}
9		xplmi.10	. . 3 |- G = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (2nd` (H` k)))}
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xplmi 7970	. 2 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))
11	3, 4, 5, 6, 7	metxp 7831	. . . . . 6 |- D e. Met
12		xplm.a	. . . . . 6 |- R e. V
13		ltso 5524	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
14	13	supex 4586	. . . . . . . . . 10 |- sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ) e. V
15	14, 7	dmoprab2 4129	. . . . . . . . 9 |- dom D = ((X X. Y) X. (X X. Y))
16	15	dmeqi 3318	. . . . . . . 8 |- dom dom D = dom ((X X. Y) X. (X X. Y))
17		dmxpid 3339	. . . . . . . 8 |- dom ((X X. Y) X. (X X. Y)) = (X X. Y)
18	16, 17	eqtr2 1499	. . . . . . 7 |- (X X. Y) = dom dom D
19	18	lmcl 7946	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ R e. V /\ H(~~>m` D)R) -> R e. (X X. Y))
20	11, 12, 19	mp3an12 908	. . . . 5 |- (H(~~>m` D)R -> R e. (X X. Y))
21		elxp6 4108	. . . . . 6 |- (R e. (X X. Y) <-> (R = <.(1st` R), (2nd` R)>. /\ ((1st` R) e. X /\ (2nd` R) e. Y)))
22	21	pm3.26bi 322	. . . . 5 |- (R e. (X X. Y) -> R = <.(1st` R), (2nd` R)>.)
23	20, 22	syl 10	. . . 4 |- (H(~~>m` D)R -> R = <.(1st` R), (2nd` R)>.)
24	23	breq2d 2635	. . 3 |- (H(~~>m` D)R -> (H(~~>m` D)R <-> H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.))
25	24	ibi 594	. 2 |- (H(~~>m` D)R -> H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.)
26	10, 25	sylan2 453	1 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)R) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {cpr 2414  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  supcsup 4582  RRcr 5245  NNcn 5308   < clt 5498  Metcme 7786  ~~>mclm 7916

This theorem is referenced by:  bopcnlem1 7978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-z 6138  df-uz 6419  df-met 7790  df-lm 7919

Copyright terms: Public domain