Theorem xpmapen 4487

Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a cross product. Exercise 4.47 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. V
xpmapen.2	|- B e. V
xpmapen.3	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
xpmapen	|- ((A X. B) ^m C) ~~ ((A ^m C) X. (B ^m C))

Proof of Theorem xpmapen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpmapen.1	. 2 |- A e. V
2		xpmapen.2	. 2 |- B e. V
3		xpmapen.3	. 2 |- C e. V
4		eqid 1473	. 2 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
5		eqid 1473	. 2 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
6		eqid 1473	. 2 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xpmapenlem5 4486	1 |- ((A X. B) ^m C) ~~ ((A ^m C) X. (B ^m C))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {csn 2405  <.cop 2407  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661   X. cxp 3163  dom cdm 3165  ran crn 3166  ` cfv 3177  (class class class)co 3954   ^m cm 4312   ~~ cen 4354

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-map 4314  df-en 4357

Copyright terms: Public domain