Theorem xpmapenlem1 4485

Description: Lemma for xpmapen 4490.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. V
xpmapen.2	|- B e. V
xpmapen.3	|- C e. V
xpmapenlem.4	|- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
xpmapenlem.5	|- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
xpmapenlem.6	|- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem1	|- ((y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.) /\ (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   y,D   y,R   x,S

Proof of Theorem xpmapenlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpmapenlem.4	. . . . 5 |- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
2		hbopab1 2809	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} -> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
3	1, 2	hbxfr 1561	. . . 4 |- (y e. D -> A.z y e. D)
4		xpmapenlem.5	. . . . 5 |- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
5		hbopab1 2809	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} -> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
6	4, 5	hbxfr 1561	. . . 4 |- (y e. R -> A.z y e. R)
7	3, 6	hbop 2493	. . 3 |- (y e. <.D, R>. -> A.z y e. <.D, R>.)
8	7	hbeleq 1565	. 2 |- (y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.)
9		hbopab2 2810	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} -> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
10	1, 9	hbxfr 1561	. . . 4 |- (y e. D -> A.w y e. D)
11		hbopab2 2810	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} -> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
12	4, 11	hbxfr 1561	. . . 4 |- (y e. R -> A.w y e. R)
13	10, 12	hbop 2493	. . 3 |- (y e. <.D, R>. -> A.w y e. <.D, R>.)
14	13	hbeleq 1565	. 2 |- (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.)
15	8, 14	pm3.2i 285	1 |- ((y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.) /\ (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808  {csn 2406  <.cop 2408  U.cuni 2499  {copab 2662  dom cdm 3166  ran crn 3167  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  xpmapenlem3 4487  xpmapenlem5 4489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-v 1809  df-un 2047  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-opab 2663

Copyright terms: Public domain