Theorem xpmapenlem2 4490

Description: Lemma for xpmapen 4494.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. V
xpmapen.2	|- B e. V
xpmapen.3	|- C e. V
xpmapenlem.4	|- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
xpmapenlem.5	|- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
xpmapenlem.6	|- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom { y}` z), (U.ran { y}` z)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem2	|- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> ((U.dom { y}` z) = U.dom {(x` z)} /\ (U.ran { y}` z) = U.ran {(x` z)}))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   y,D   y,R   x,S

Proof of Theorem xpmapenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2415	. . . . . . . 8 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.D, R>.})
2		xpmapenlem.4	. . . . . . . . . 10 |- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
3	2	opeq1i 2488	. . . . . . . . 9 |- <.D, R>. = <.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.
4	3	sneqi 2416	. . . . . . . 8 |- {<.D, R>.} = {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.}
5	1, 4	syl6eq 1522	. . . . . . 7 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
6	5	dmeqd 3310	. . . . . 6 |- (y = <.D, R>. -> dom { y} = dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
7	6	unieqd 2509	. . . . 5 |- (y = <.D, R>. -> U.dom { y} = U.dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
8		xpmapen.3	. . . . . . 7 |- C e. V
9	8	opabex2 3607	. . . . . 6 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} e. V
10	9	op1sta 3445	. . . . 5 |- U.dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
11	7, 10	syl6eq 1522	. . . 4 |- (y = <.D, R>. -> U.dom { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
12	11	fveq1d 3723	. . 3 |- (y = <.D, R>. -> (U.dom { y}` z) = ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z))
13		snex 2747	. . . . . 6 |- {(x` z)} e. V
14	13	dmex 3357	. . . . 5 |- dom {(x` z)} e. V
15	14	uniex 2867	. . . 4 |- U.dom {(x` z)} e. V
16		fvopab2 3788	. . . 4 |- ((z e. C /\ U.dom {(x` z)} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z) = U.dom {(x` z)})
17	15, 16	mpan2 695	. . 3 |- (z e. C -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z) = U.dom {(x` z)})
18	12, 17	sylan9eq 1526	. 2 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.dom { y}` z) = U.dom {(x` z)})
19		xpmapenlem.5	. . . . . . . . . 10 |- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
20	19	opeq2i 2489	. . . . . . . . 9 |- <.D, R>. = <.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.
21	20	sneqi 2416	. . . . . . . 8 |- {<.D, R>.} = {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.}
22	1, 21	syl6eq 1522	. . . . . . 7 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
23	22	rneqd 3338	. . . . . 6 |- (y = <.D, R>. -> ran { y} = ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
24	23	unieqd 2509	. . . . 5 |- (y = <.D, R>. -> U.ran { y} = U.ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
25	8, 2	fopabex2 3609	. . . . . 6 |- D e. V
26	8	opabex2 3607	. . . . . 6 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} e. V
27	25, 26	op2nda 3449	. . . . 5 |- U.ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
28	24, 27	syl6eq 1522	. . . 4 |- (y = <.D, R>. -> U.ran { y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
29	28	fveq1d 3723	. . 3 |- (y = <.D, R>. -> (U.ran { y}` z) = ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z))
30	13	rnex 3358	. . . . 5 |- ran {(x` z)} e. V
31	30	uniex 2867	. . . 4 |- U.ran {(x` z)} e. V
32		fvopab2 3788	. . . 4 |- ((z e. C /\ U.ran {(x` z)} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z) = U.ran {(x` z)})
33	31, 32	mpan2 695	. . 3 |- (z e. C -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z) = U.ran {(x` z)})
34	29, 33	sylan9eq 1526	. 2 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.ran { y}` z) = U.ran {(x` z)})
35	18, 34	jca 288	1 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> ((U.dom { y}` z) = U.dom {(x` z)} /\ (U.ran { y}` z) = U.ran {(x` z)}))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  {csn 2407  <.cop 2409  U.cuni 2500  {copab 2663  dom cdm 3167  ran crn 3168  ` cfv 3179

This theorem is referenced by:  xpmapenlem3 4491  xpmapenlem5 4493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain