MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrn Structured version   Unicode version

Theorem xpsfrn 13796
Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsff1o.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
Assertion
Ref Expression
xpsfrn  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    B, k, x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y, k)

Proof of Theorem xpsfrn
StepHypRef Expression
1 xpsff1o.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
21xpsff1o 13795 . 2  |-  F :
( A  X.  B
)
-1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
3 f1ofo 5683 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  F : ( A  X.  B )
-onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
4 forn 5658 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) -onto-> X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )  ->  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B ) )
52, 3, 4mp2b 10 1  |-  ran  F  =  X_ k  e.  2o  if ( k  =  (/) ,  A ,  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653   (/)c0 3630   ifcif 3741   {csn 3816    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   ran crn 4881   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   2oc2o 6720   X_cixp 7065    +c ccda 8049
This theorem is referenced by:  xpsfrn2  13797  xpslem  13800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-cda 8050
  Copyright terms: Public domain W3C validator