Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Unicode version

Theorem xpsmet 18395
 Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t s
xpsds.x
xpsds.y
xpsds.1
xpsds.2
xpsds.p
xpsds.m
xpsds.n
xpsmet.3
xpsmet.4
Assertion
Ref Expression
xpsmet

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 s
2 xpsds.x . . 3
3 xpsds.y . . 3
4 xpsds.1 . . 3
5 xpsds.2 . . 3
6 eqid 2430 . . 3
7 eqid 2430 . . 3 Scalar Scalar
8 eqid 2430 . . 3 Scalars Scalars
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 13780 . 2 s Scalars
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 13781 . 2 Scalars
116xpsff1o2 13779 . . 3
12 f1ocnv 5673 . . 3
1311, 12mp1i 12 . 2
14 ovex 6092 . . 3 Scalars
1514a1i 11 . 2 Scalars
16 eqid 2430 . 2 Scalars Scalars
17 xpsds.p . 2
18 eqid 2430 . . . . 5 Scalars Scalars
19 eqid 2430 . . . . 5 Scalars Scalars
20 eqid 2430 . . . . 5
21 eqid 2430 . . . . 5
22 eqid 2430 . . . . 5 Scalars Scalars
23 fvex 5728 . . . . . 6 Scalar
2423a1i 11 . . . . 5 Scalar
25 2onn 6869 . . . . . 6
26 nnfi 7285 . . . . . 6
2725, 26mp1i 12 . . . . 5
28 fvex 5728 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
30 elpri 3821 . . . . . . 7
31 df2o3 6723 . . . . . . 7
3230, 31eleq2s 2522 . . . . . 6
33 xpsmet.3 . . . . . . . . 9
3433adantr 452 . . . . . . . 8
35 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12
36 xpsc0 13768 . . . . . . . . . . . . 13
374, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3835, 37sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . 11
3938fveq2d 5718 . . . . . . . . . 10
4038fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . 12
4140, 2syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . 11
4241, 41xpeq12d 4889 . . . . . . . . . 10
4339, 42reseq12d 5133 . . . . . . . . 9
44 xpsds.m . . . . . . . . 9
4543, 44syl6eqr 2480 . . . . . . . 8
4641fveq2d 5718 . . . . . . . 8
4734, 45, 463eltr4d 2511 . . . . . . 7
48 xpsmet.4 . . . . . . . . 9
4948adantr 452 . . . . . . . 8
50 fveq2 5714 . . . . . . . . . . . 12
51 xpsc1 13769 . . . . . . . . . . . . 13
525, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5350, 52sylan9eqr 2484 . . . . . . . . . . 11
5453fveq2d 5718 . . . . . . . . . 10
5553fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . 12
5655, 3syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . 11
5756, 56xpeq12d 4889 . . . . . . . . . 10
5854, 57reseq12d 5133 . . . . . . . . 9
59 xpsds.n . . . . . . . . 9
6058, 59syl6eqr 2480 . . . . . . . 8
6156fveq2d 5718 . . . . . . . 8
6249, 60, 613eltr4d 2511 . . . . . . 7
6347, 62jaodan 761 . . . . . 6
6432, 63sylan2 461 . . . . 5
6518, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 29, 64prdsmet 18383 . . . 4 Scalars Scalars
66 xpscfn 13767 . . . . . . . 8
674, 5, 66syl2anc 643 . . . . . . 7
68 dffn5 5758 . . . . . . 7
6967, 68sylib 189 . . . . . 6
7069oveq2d 6083 . . . . 5 Scalars Scalars
7170fveq2d 5718 . . . 4 Scalars Scalars
7270fveq2d 5718 . . . . . 6 Scalars Scalars
7310, 72eqtrd 2462 . . . . 5 Scalars
7473fveq2d 5718 . . . 4 Scalars
7565, 71, 743eltr4d 2511 . . 3 Scalars
76 ssid 3354 . . 3
77 metres2 18376 . . 3 Scalars Scalars
7875, 76, 77sylancl 644 . 2 Scalars
799, 10, 13, 15, 16, 17, 78imasf1omet 18389 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2943   wss 3307  c0 3615  csn 3801  cpr 3802   cmpt 4253  com 4831   cxp 4862  ccnv 4863   crn 4865   cres 4866   wfn 5435  wf1o 5439  cfv 5440  (class class class)co 6067   cmpt2 6069  c1o 6703  c2o 6704  cfn 7095   ccda 8031  cbs 13452  Scalarcsca 13515  cds 13521  scprds 13652   s cxps 13715  cme 16670 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-seq 11307  df-hash 11602  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-hom 13536  df-cco 13537  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-xmet 16678  df-met 16679
 Copyright terms: Public domain W3C validator