MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Unicode version

Theorem xpsmnd 14723
Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsmnd  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
6 eqid 2435 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2435 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2435 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 13785 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
106xpsff1o2 13784 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 13786 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
12 f1oeq3 5658 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1410, 13mpbii 203 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) -1-1-onto-> ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
15 f1ocnv 5678 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 f1of1 5664 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) -1-1-onto-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
1714, 15, 163syl 19 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
18 2on 6723 . . . . 5  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  2o  e.  On )
20 fvex 5733 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
22 xpscf 13779 . . . . 5  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> Mnd  <->  ( R  e.  Mnd  /\  S  e. 
Mnd ) )
2322biimpri 198 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
) : 2o --> Mnd )
248, 19, 21, 23prdsmndd 14716 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  Mnd )
25 eqid 2435 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
26 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2725, 26imasmndf1 14722 . . 3  |-  ( ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  /\  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
2817, 24, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
299, 28eqeltrd 2509 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   Oncon0 4573    X. cxp 4867   `'ccnv 4868   ran crn 4870   -->wf 5441   -1-1->wf1 5442   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    e. cmpt2 6074   2oc2o 6709    +c ccda 8036   Basecbs 13457  Scalarcsca 13520   X_scprds 13657    "s cimas 13718    X.s cxps 13720   Mndcmnd 14672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-hom 13541  df-cco 13542  df-prds 13659  df-0g 13715  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mnd 14678
  Copyright terms: Public domain W3C validator