MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmnd Structured version   Unicode version

Theorem xpsmnd 14740
Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsmnd.t  |-  T  =  ( R  X.s  S )
Assertion
Ref Expression
xpsmnd  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )

Proof of Theorem xpsmnd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsmnd.t . . 3  |-  T  =  ( R  X.s  S )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
4 simpl 445 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  R  e.  Mnd )
5 simpr 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  S  e.  Mnd )
6 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )
7 eqid 2438 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
8 eqid 2438 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  =  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 13802 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  =  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) )
106xpsff1o2 13801 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 13803 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ran  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
12 f1oeq3 5670 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> ran  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) ) )
1410, 13mpbii 204 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) -1-1-onto-> ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) )
15 f1ocnv 5690 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( ( Base `  R )  X.  ( Base `  S ) ) -1-1-onto-> (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-onto-> ( ( Base `  R
)  X.  ( Base `  S ) ) )
16 f1of1 5676 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) ) -1-1-onto-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
1714, 15, 163syl 19 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) ) )
18 2on 6735 . . . . 5  |-  2o  e.  On
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  2o  e.  On )
20 fvex 5745 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
22 xpscf 13796 . . . . 5  |-  ( `' ( { R }  +c  { S } ) : 2o --> Mnd  <->  ( R  e.  Mnd  /\  S  e. 
Mnd ) )
2322biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  `' ( { R }  +c  { S }
) : 2o --> Mnd )
248, 19, 21, 23prdsmndd 14733 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) )  e.  Mnd )
25 eqid 2438 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  R ) ,  y  e.  ( Base `  S )  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )  "s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )
26 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) )
2725, 26imasmndf1 14739 . . 3  |-  ( ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) : ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) ) ) -1-1-> ( (
Base `  R )  X.  ( Base `  S
) )  /\  (
(Scalar `  R ) X_s `' ( { R }  +c  { S } ) )  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
2817, 24, 27syl2anc 644 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  ( `' ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  S
)  |->  `' ( { x }  +c  {
y } ) ) 
"s  ( (Scalar `  R
) X_s `' ( { R }  +c  { S }
) ) )  e. 
Mnd )
299, 28eqeltrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  S  e.  Mnd )  ->  T  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816   Oncon0 4584    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   ran crn 4882   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   2oc2o 6721    +c ccda 8052   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   X_scprds 13674    "s cimas 13735    X.s cxps 13737   Mndcmnd 14689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-0g 13732  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mnd 14695
  Copyright terms: Public domain W3C validator