Theorem xpsn 3826

Description: The cross product of two singletons.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ({A} X. {B}) = {<.A, B>.}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn.2	. . 3 |- B e. V
2	1	fconst 3649	. 2 |- ({A} X. {B}):{A}-->{B}
3		fsn.1	. . 3 |- A e. V
4	3, 1	fsn 3825	. 2 |- (({A} X. {B}):{A}-->{B} <-> ({A} X. {B}) = {<.A, B>.})
5	2, 4	mpbi 189	1 |- ({A} X. {B}) = {<.A, B>.}

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {csn 2405  <.cop 2407   X. cxp 3163  -->wf 3173

This theorem is referenced by:  grpsn 8076  ablsn 8077  ringsn 8115

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-reu 1648  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192

Copyright terms: Public domain