Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsnen Unicode version

Theorem xpsnen 7183
 Description: A set is equinumerous to its cross-product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsnen.1
xpsnen.2
Assertion
Ref Expression
xpsnen

Proof of Theorem xpsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsnen.1 . . 3
2 snex 4397 . . 3
31, 2xpex 4981 . 2
4 elxp 4886 . . 3
5 inteq 4045 . . . . . . . 8
65inteqd 4047 . . . . . . 7
7 vex 2951 . . . . . . . 8
8 vex 2951 . . . . . . . 8
97, 8op1stb 4749 . . . . . . 7
106, 9syl6eq 2483 . . . . . 6
1110, 7syl6eqel 2523 . . . . 5
1211adantr 452 . . . 4
1312exlimivv 1645 . . 3
144, 13sylbi 188 . 2
15 opex 4419 . . 3
1615a1i 11 . 2
17 eleq1 2495 . . . . . 6
187, 17mpbii 203 . . . . 5
19 ancom 438 . . . . . . . . . . 11
20 anass 631 . . . . . . . . . . 11
21 elsn 3821 . . . . . . . . . . . 12
2221anbi1i 677 . . . . . . . . . . 11
2319, 20, 223bitr3i 267 . . . . . . . . . 10
2423exbii 1592 . . . . . . . . 9
25 xpsnen.2 . . . . . . . . . 10
26 opeq2 3977 . . . . . . . . . . . 12
2726eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
2827anbi1d 686 . . . . . . . . . 10
2925, 28ceqsexv 2983 . . . . . . . . 9
30 inteq 4045 . . . . . . . . . . . . . 14
3130inteqd 4047 . . . . . . . . . . . . 13
327, 25op1stb 4749 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl6req 2484 . . . . . . . . . . . 12
3433pm4.71ri 615 . . . . . . . . . . 11
3534anbi1i 677 . . . . . . . . . 10
36 anass 631 . . . . . . . . . 10
3735, 36bitri 241 . . . . . . . . 9
3824, 29, 373bitri 263 . . . . . . . 8
3938exbii 1592 . . . . . . 7
404, 39bitri 241 . . . . . 6
41 opeq1 3976 . . . . . . . . 9
4241eqeq2d 2446 . . . . . . . 8
43 eleq1 2495 . . . . . . . 8
4442, 43anbi12d 692 . . . . . . 7
4544ceqsexgv 3060 . . . . . 6
4640, 45syl5bb 249 . . . . 5
4718, 46syl 16 . . . 4
4847pm5.32ri 620 . . 3
4933adantr 452 . . . . 5
5049pm4.71i 614 . . . 4
5144pm5.32ri 620 . . . 4
5250, 51bitr2i 242 . . 3
53 ancom 438 . . 3
5448, 52, 533bitri 263 . 2
553, 1, 14, 16, 54en2i 7136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csn 3806  cop 3809  cint 4042   class class class wbr 4204   cxp 4867   cen 7097 This theorem is referenced by:  xpsneng  7184  endisj  7186  infxpenlem  7884  pm110.643  8046  hashxplem  11684  xpnnenOLD  12797  rexpen  12815  heiborlem3  26459 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-en 7101
 Copyright terms: Public domain W3C validator