Theorem xpss 3225

Description: A cross product is included in the ordered pair universe. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
xpss	|- (A X. B) (_ (V X. V)

Proof of Theorem xpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . . 4 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) -> z = <.x, y>.)
2	1	19.22i2 1039	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)) -> E.xE.y z = <.x, y>.)
3		elxp 3197	. . 3 |- (z e. (A X. B) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. A /\ y e. B)))
4		elvv 3223	. . 3 |- (z e. (V X. V) <-> E.xE.y z = <.x, y>.)
5	2, 3, 4	3imtr4 219	. 2 |- (z e. (A X. B) -> z e. (V X. V))
6	5	ssriv 2065	1 |- (A X. B) (_ (V X. V)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   (_ wss 2043  <.cop 2407   X. cxp 3163

This theorem is referenced by:  relxp 3250  relres 3379  dff2 3808  nvrel 8173  relded 10553  relcat 10574

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179

Copyright terms: Public domain