Theorem xpsspw 3247

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Proof of Theorem xpsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3245	. 2 |- Rel (A X. B)
2		visset 1804	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 3204	. . 3 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
4		snssi 2457	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> {x} (_ A)
5		ssun3 2185	. . . . . . . 8 |- ({x} (_ A -> {x} (_ (A u. B))
6	4, 5	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. A -> {x} (_ (A u. B))
7		snex 2740	. . . . . . . 8 |- {x} e. V
8	7	elpw 2394	. . . . . . 7 |- ({x} e. P~(A u. B) <-> {x} (_ (A u. B))
9	6, 8	sylibr 200	. . . . . 6 |- (x e. A -> {x} e. P~(A u. B))
10	9	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x} e. P~(A u. B))
11		snssi 2457	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> {y} (_ B)
12		ssun4 2186	. . . . . . . . . 10 |- ({y} (_ B -> {y} (_ (A u. B))
13	11, 12	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> {y} (_ (A u. B))
14	6, 13	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)))
15		unss 2194	. . . . . . . 8 |- (({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)) <-> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
16	14, 15	sylib 198	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
17		df-pr 2403	. . . . . . 7 |- {x, y} = ({x} u. {y})
18	16, 17	syl5ss 2095	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} (_ (A u. B))
19		zfpair2 2770	. . . . . . 7 |- {x, y} e. V
20	19	elpw 2394	. . . . . 6 |- ({x, y} e. P~(A u. B) <-> {x, y} (_ (A u. B))
21	18, 20	sylibr 200	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. P~(A u. B))
22	10, 21	jca 288	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)))
23		prex 2771	. . . . . 6 |- {{x}, {x, y}} e. V
24	23	elpw 2394	. . . . 5 |- ({{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
25		df-op 2406	. . . . . 6 |- <.x, y>. = {{x}, {x, y}}
26	25	eleq1i 1529	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B))
27	7, 19	prss 2462	. . . . 5 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
28	24, 26, 27	3bitr4r 184	. . . 4 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
29	22, 28	sylib 198	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
30	3, 29	sylbi 199	. 2 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
31	1, 30	relssi 3238	1 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 955   u. cun 2035   (_ wss 2037  P~cpw 2391  {csn 2399  {cpr 2400  <.cop 2401   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  unixpss 3248  xpexg 3249  rankxpu 4683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175

Copyright terms: Public domain