Theorem xpsspw 3346

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Proof of Theorem xpsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3344	. 2 |- Rel (A X. B)
2		visset 1859	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 3297	. . 3 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
4		snssi 2530	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> {x} (_ A)
5		ssun3 2247	. . . . . . . 8 |- ({x} (_ A -> {x} (_ (A u. B))
6	4, 5	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. A -> {x} (_ (A u. B))
7		snex 2826	. . . . . . . 8 |- {x} e. V
8	7	elpw 2461	. . . . . . 7 |- ({x} e. P~(A u. B) <-> {x} (_ (A u. B))
9	6, 8	sylibr 198	. . . . . 6 |- (x e. A -> {x} e. P~(A u. B))
10	9	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x} e. P~(A u. B))
11		snssi 2530	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> {y} (_ B)
12		ssun4 2248	. . . . . . . . . 10 |- ({y} (_ B -> {y} (_ (A u. B))
13	11, 12	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> {y} (_ (A u. B))
14	6, 13	anim12i 331	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)))
15		unss 2256	. . . . . . . 8 |- (({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)) <-> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
16	14, 15	sylib 196	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
17		df-pr 2471	. . . . . . 7 |- {x, y} = ({x} u. {y})
18	16, 17	syl5ss 2157	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} (_ (A u. B))
19		zfpair2 2856	. . . . . . 7 |- {x, y} e. V
20	19	elpw 2461	. . . . . 6 |- ({x, y} e. P~(A u. B) <-> {x, y} (_ (A u. B))
21	18, 20	sylibr 198	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. P~(A u. B))
22	10, 21	jca 286	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)))
23		prex 2857	. . . . . 6 |- {{x}, {x, y}} e. V
24	23	elpw 2461	. . . . 5 |- ({{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
25		df-op 2474	. . . . . 6 |- <.x, y>. = {{x}, {x, y}}
26	25	eleq1i 1580	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B))
27	7, 19	prss 2536	. . . . 5 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
28	24, 26, 27	3bitr4ri 182	. . . 4 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
29	22, 28	sylib 196	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
30	3, 29	sylbi 197	. 2 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
31	1, 30	relssi 3336	1 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Syntax hints:   /\ wa 221   e. wcel 994   u. cun 2097   (_ wss 2099  P~cpw 2458  {csn 2467  {cpr 2468  <.cop 2469   X. cxp 3249

This theorem is referenced by:  unixpss 3347  xpexg 3348  rankxpu 4857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-opab 2741  df-xp 3265  df-rel 3266

Copyright terms: Public domain