MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem1 Unicode version

Theorem xpstopnlem1 17794
Description: The function  F used in xpsval 13752 is a homeomorphism from the binary product topology to the indexed product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstopnlem1.f  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
xpstopnlem1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
xpstopnlem1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpstopnlem1.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 xpstopnlem1.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )
6 0ex 4299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
85, 7, 1pt1hmeo 17791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z >. } )  e.  ( J  Homeo  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ) )
9 hmeocn 17745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  X  |->  {
<. (/) ,  z >. } )  e.  ( J  Homeo  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) )  ->  (
z  e.  X  |->  {
<. (/) ,  z >. } )  e.  ( J  Cn  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ) )
10 cntop2 17259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  X  |->  {
<. (/) ,  z >. } )  e.  ( J  Cn  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) )  ->  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  e.  Top )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  e.  Top )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  =  U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )
1312toptopon 16953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  e.  Top  <->  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } ) ) )
1411, 13sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } ) ) )
15 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  =  (
Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )
16 1on 6690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  On
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
1815, 17, 2pt1hmeo 17791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  |->  { <. 1o ,  z
>. } )  e.  ( K  Homeo  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
19 hmeocn 17745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } )  e.  ( K  Homeo  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  -> 
( z  e.  Y  |->  { <. 1o ,  z
>. } )  e.  ( K  Cn  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
20 cntop2 17259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } )  e.  ( K  Cn  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  -> 
( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e.  Top )
2118, 19, 203syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e.  Top )
22 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  = 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )
2322toptopon 16953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e. 
Top 
<->  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
2421, 23sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
25 txtopon 17576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } ) )  /\  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  e.  (TopOn `  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )  ->  ( ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  e.  (TopOn `  ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
2614, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  e.  (TopOn `  ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
27 opeq2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  <. (/) ,  z
>.  =  <. (/) ,  x >. )
2827sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  { <. (/)
,  z >. }  =  { <. (/) ,  x >. } )
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  X  |->  { <. (/)
,  z >. } )  =  ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } )
30 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. (/)
,  x >. }  e.  _V
3128, 29, 30fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z >. } ) `  x
)  =  { <. (/)
,  x >. } )
32 opeq2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  <. 1o , 
z >.  =  <. 1o , 
y >. )
3332sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  { <. 1o ,  z >. }  =  { <. 1o ,  y
>. } )
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  |->  { <. 1o ,  z >. } )  =  ( z  e.  Y  |->  { <. 1o , 
z >. } )
35 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1o ,  y >. }  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  Y  ->  (
( z  e.  Y  |->  { <. 1o ,  z
>. } ) `  y
)  =  { <. 1o ,  y >. } )
37 opeq12 3946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
)  =  { <. (/)
,  x >. }  /\  ( ( z  e.  Y  |->  { <. 1o , 
z >. } ) `  y )  =  { <. 1o ,  y >. } )  ->  <. (
( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z >. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >.  =  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >. )
3831, 36, 37syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. ( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >.  =  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >. )
3938mpt2eq3ia 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. (
( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z >. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )
40 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
411, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
42 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
432, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
44 mpt2eq12 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  U. J  /\  Y  =  U. K )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. )  =  ( x  e.  U. J ,  y  e.  U. K  |-> 
<. ( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. ) )
4541, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. )  =  ( x  e.  U. J ,  y  e.  U. K  |-> 
<. ( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. ) )
4639, 45syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  =  ( x  e. 
U. J ,  y  e.  U. K  |->  <.
( ( z  e.  X  |->  { <. (/) ,  z
>. } ) `  x
) ,  ( ( z  e.  Y  |->  {
<. 1o ,  z >. } ) `  y
) >. ) )
47 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. K  =  U. K
4947, 48, 8, 18txhmeo 17788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J ,  y  e.  U. K  |->  <. ( ( z  e.  X  |->  { <. (/)
,  z >. } ) `
 x ) ,  ( ( z  e.  Y  |->  { <. 1o , 
z >. } ) `  y ) >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Homeo  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
5046, 49eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Homeo  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
51 hmeocn 17745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Homeo  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  (
( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } ) 
tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )
53 cnf2 17267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  (
( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } ) 
tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  e.  (TopOn `  ( U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) ) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
544, 26, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
55 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )
5655fmpt2 6377 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. {
<. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >.  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  <-> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
5754, 56sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >.  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
5857r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >.  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
5958r19.21bi 2764 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  <. { <. (/)
,  x >. } ,  { <. 1o ,  y
>. } >.  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
6059anasss 629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >.  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
61 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >. ) )
62 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
63 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
6462, 63op1std 6316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
6562, 63op2ndd 6317 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
6664, 65uneq12d 3462 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  u.  y ) )
6766mpt2mpt 6124 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  |->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ,  y  e. 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )
6867eqcomi 2408 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ,  y  e. 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  =  ( z  e.  ( U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )
6968a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) 
|->  ( x  u.  y
) )  =  ( z  e.  ( U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } )  X.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  |->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) ) )
7030, 35op1std 6316 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >.  -> 
( 1st `  z
)  =  { <. (/)
,  x >. } )
7130, 35op2ndd 6317 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >.  -> 
( 2nd `  z
)  =  { <. 1o ,  y >. } )
7270, 71uneq12d 3462 . . . . 5  |-  ( z  =  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >.  -> 
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o ,  y >. } ) )
73 xpscg 13738 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  `' ( { x }  +c  { y } )  =  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } )
7462, 63, 73mp2an 654 . . . . . 6  |-  `' ( { x }  +c  { y } )  =  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }
75 df-pr 3781 . . . . . 6  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
7674, 75eqtri 2424 . . . . 5  |-  `' ( { x }  +c  { y } )  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o ,  y >. } )
7772, 76syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( z  =  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >.  -> 
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  =  `' ( { x }  +c  { y } ) )
7860, 61, 69, 77fmpt2co 6389 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } ) ,  y  e. 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )
)  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) ) )
79 xpstopnlem1.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  `' ( { x }  +c  { y } ) )
8078, 79syl6reqr 2455 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >. ) ) )
81 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )
82 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )
83 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) )  =  (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) )
84 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )  =  (
Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )
85 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  =  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { 1o }
) )
86 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  |->  ( x  u.  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  |->  ( x  u.  y ) )
87 2on 6691 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
8887a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2o  e.  On )
89 topontop 16946 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
901, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
91 topontop 16946 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
922, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
93 xpscf 13746 . . . . . 6  |-  ( `' ( { J }  +c  { K } ) : 2o --> Top  <->  ( J  e.  Top  /\  K  e. 
Top ) )
9490, 92, 93sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' ( { J }  +c  { K }
) : 2o --> Top )
95 df2o3 6696 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
96 df-pr 3781 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
9795, 96eqtri 2424 . . . . . 6  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2o  =  ( {
(/) }  u.  { 1o } ) )
99 1n0 6698 . . . . . . 7  |-  1o  =/=  (/)
10099necomi 2649 . . . . . 6  |-  (/)  =/=  1o
101 disjsn2 3829 . . . . . 6  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  ( { (/)
}  i^i  { 1o } )  =  (/) )
102100, 101mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { (/) }  i^i  { 1o } )  =  (/) )
10381, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 94, 98, 102ptunhmeo 17793 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  |->  ( x  u.  y ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )  tX  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) ) )
104 xpscfn 13739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  `' ( { J }  +c  { K } )  Fn  2o )
1051, 2, 104syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' ( { J }  +c  { K }
)  Fn  2o )
1066prid1 3872 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
107106, 95eleqtrri 2477 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  2o
108 fnressn 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( { J }  +c  { K }
)  Fn  2o  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  (/) ) >. } )
109105, 107, 108sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  (/) ) >. } )
110 xpsc0 13740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  (/) )  =  J )
1111, 110syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  (/) )  =  J )
112111opeq2d 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. (/) ,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `
 (/) ) >.  =  <. (/)
,  J >. )
113112sneqd 3787 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { <. (/) ,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `
 (/) ) >. }  =  { <. (/) ,  J >. } )
114109, 113eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } )  =  { <. (/)
,  J >. } )
115114fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { (/) } ) )  =  ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) )
116115unieqd 3986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { (/) } ) )  =  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) )
11716elexi 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
118117prid2 3873 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
119118, 95eleqtrri 2477 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  2o
120 fnressn 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( { J }  +c  { K }
)  Fn  2o  /\  1o  e.  2o )  -> 
( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `
 1o ) >. } )
121105, 119, 120sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `
 1o ) >. } )
122 xpsc1 13741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  1o )  =  K
)
1232, 122syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `  1o )  =  K )
124123opeq2d 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. 1o ,  ( `' ( { J }  +c  { K } ) `
 1o ) >.  =  <. 1o ,  K >. )
125124sneqd 3787 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { <. 1o ,  ( `' ( { J }  +c  { K }
) `  1o ) >. }  =  { <. 1o ,  K >. } )
126121, 125eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } )  =  { <. 1o ,  K >. } )
127126fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { 1o }
) )  =  (
Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )
128127unieqd 3986 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { 1o }
) )  =  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )
129 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  u.  y
)  =  ( x  u.  y ) )
130116, 128, 129mpt2eq123dv 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) )  |->  ( x  u.  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) 
|->  ( x  u.  y
) ) )
131115, 127oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K }
)  |`  { (/) } ) )  tX  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) ) )  =  ( ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )
132131oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { (/) } ) )  tX  ( Xt_ `  ( `' ( { J }  +c  { K } )  |`  { 1o } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K }
) ) )  =  ( ( ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  Homeo  (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
133103, 130, 1323eltr3d 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/)
,  J >. } ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) 
|->  ( x  u.  y
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  Homeo  (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
134 hmeoco 17757 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Homeo  ( (
Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) ) )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ,  y  e. 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } )  tX  ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } ) )  Homeo  (
Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  U. ( Xt_ `  { <. (/) ,  J >. } ) ,  y  e.  U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o ,  y >. } >. ) )  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
13550, 133, 134syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
U. ( Xt_ `  { <.
(/) ,  J >. } ) ,  y  e. 
U. ( Xt_ `  { <. 1o ,  K >. } )  |->  ( x  u.  y ) )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. { <. (/) ,  x >. } ,  { <. 1o , 
y >. } >. )
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
13680, 135eqeltrd 2478 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( Xt_ `  `' ( { J }  +c  { K } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   1oc1o 6676   2oc2o 6677    +c ccda 8003   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  17796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-cda 8004  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator