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Theorem xrge0tsms 18355
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsms.g  |-  G  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
xrge0tsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
xrge0tsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
xrge0tsms.s  |-  S  =  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { S }
)
Distinct variable groups:    A, s    F, s    ph, s    G, s
Allowed substitution hints:    S( s)    V( s)

Proof of Theorem xrge0tsms
Dummy variables  r  u  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms.s . . . . 5  |-  S  =  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )
2 iccssxr 10748 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
3 xrge0tsms.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
4 xrsbas 16406 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR*  =  ( Base `  RR* s )
53, 4ressbas2 13215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  C_ 
RR*  ->  ( 0 [,] 
+oo )  =  (
Base `  G )
)
62, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,]  +oo )  =  (
Base `  G )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )  =  (
RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )
87xrge0subm 16428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )
9 xrex 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR*  e.  _V
10 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V
12 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
13 ge0nemnf 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  x  =/=  -oo )
1412, 13jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  (
x  e.  RR*  /\  x  =/=  -oo ) )
15 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
16 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( RR*  \  {  -oo } )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  =/= 
-oo ) )
1714, 15, 163imtr4i 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  x  e.  ( RR*  \  {  -oo } ) )
1817ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  ( RR*  \  {  -oo }
)
19 ressabs 13222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  ( RR*  \  {  -oo } ) )  -> 
( ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo }
) )s  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2011, 18, 19mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )s  ( 0 [,]  +oo ) )  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
213, 20eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo }
) )s  ( 0 [,] 
+oo ) )
227xrs10 16426 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )
2321, 22subm0 14449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )  -> 
0  =  ( 0g
`  G ) )
248, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  G )
25 xrge0cmn 16429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. CMnd
263, 25eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. CMnd
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
28 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  A  /\  s  e. 
Fin ) )
2928simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  s  e.  Fin )
3029adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  Fin )
31 xrge0tsms.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
3228simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  s  C_  A )
33 fssres 5424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  s  C_  A )  ->  ( F  |`  s ) : s --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3431, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  s ) : s --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3530, 34fisuppfi 14466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  s ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
366, 24, 27, 30, 34, 35gsumcl 15214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
372, 36sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  e.  RR* )
38 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) )
3937, 38fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
40 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR*  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  C_  RR* )
4139, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
42 supxrcl 10649 . . . . . 6  |-  ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  ->  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4341, 42syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
441, 43syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
45 0ss 3496 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  A
46 0fin 7103 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
47 elfpw 7173 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  e.  Fin )
)
4845, 46, 47mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
49 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
50 reseq2 4966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  (/) ) )
51 res0 4975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
5250, 51syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( F  |`  s )  =  (/) )
5352oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
5424gsum0 14473 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  0
5553, 54syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) )  =  0 )
5638, 55elrnmpt1s 4943 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  e.  CC )  ->  0  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) )
5748, 49, 56mp2an 653 . . . . . 6  |-  0  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) )
58 supxrub 10659 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  0  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
5941, 57, 58sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6059, 1syl6breqr 4079 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
61 elxrge0 10763 . . . 4  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( S  e.  RR*  /\  0  <_  S ) )
6244, 60, 61sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
63 letop 16952 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
64 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
65 elrest 13348 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)  <->  E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
6663, 64, 65mp2an 653 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
67 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( v  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )  C_  v
6867sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  S  e.  v )
69 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  v  e.  (ordTop `  <_  ) )
70 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
71 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  _V  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
7263, 70, 71mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
7369, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
74 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
7574xrtgioo 18328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
7673, 75syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
77 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  v )
78 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  RR )
79 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( v  i^i 
RR )  <->  ( S  e.  v  /\  S  e.  RR ) )
8077, 78, 79sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  ( v  i^i  RR ) )
81 tg2 16719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  i^i  RR )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  S  e.  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) ) )
8276, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) ) )
83 ioof 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
84 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
85 ovelrn 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. r  e.  RR*  E. w  e.  RR*  u  =  ( r (,) w ) ) )
8683, 84, 85mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. r  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  u  =  ( r (,) w ) )
87 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  S  e.  ( r (,) w
) )
88 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  ( r (,) w )  ->  (
r  <  S  /\  S  <  w ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r  <  S  /\  S  < 
w ) )
9089simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  <  S )
9190, 1syl6breq 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9241ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  C_  RR* )
93 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  e.  RR* )
94 supxrlub 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) r  <  w ) )
9592, 93, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r  <  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w ) )
9691, 95mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w )
97 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  _V
9897rgenw 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e. 
_V
99 reseq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  z  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  z
) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
101100cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
102 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  -> 
( r  <  w  <->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) )
103101, 102rexrnmpt 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  _V  ->  ( E. w  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )
10498, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) r  <  w  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
10596, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
106 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
)
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )
108 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  i^i  RR )  C_  v
109107, 108syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
r (,) w ) 
C_  v )
11026a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  G  e. CMnd )
111 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
112 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
113112simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
114111, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
115 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ph )
116115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ph )
117116, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  F : A --> ( 0 [,] 
+oo ) )
118112simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
119111, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  C_  A )
120 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  y  C_  A )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( 0 [,] 
+oo ) )
121117, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( 0 [,] 
+oo ) )
122114, 121fisuppfi 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  y ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1236, 24, 110, 114, 121, 122gsumcl 15214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
1242, 123sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR* )
12593adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  e.  RR* )
126 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  y )
127 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
128114, 126, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  Fin )
129126, 119sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  A )
130 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  z  C_  A )  ->  ( F  |`  z ) : z --> ( 0 [,] 
+oo ) )
131117, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( F  |`  z ) : z --> ( 0 [,] 
+oo ) )
132128, 131fisuppfi 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1336, 24, 110, 128, 131, 132gsumcl 15214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
1342, 133sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  RR* )
135 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
136 xrge0tsms.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
137116, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  A  e.  V )
1383, 137, 117, 111, 126xrge0gsumle 18354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  <_  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
139125, 134, 124, 135, 138xrltletrd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
140116, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  S  e.  RR* )
141 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  w  e.  RR* )
142141adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  w  e.  RR* )
143116, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
144 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
145 reseq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( s  =  y  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  y
) )
146145oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
14738, 146elrnmpt1s 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )
148111, 144, 147sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )
149 supxrub 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
150143, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
151150, 1syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  S
)
15289simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  S  <  w )
153152adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  S  <  w )
154124, 140, 142, 151, 153xrlelttrd 10507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
)
155 elioo1 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w )  <-> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
) ) )
156125, 142, 155syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w )  <-> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
) ) )
157124, 139, 154, 156mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w ) )
158109, 157sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )
159 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
160158, 123, 159sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
161160anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  e.  RR )  /\  (
( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
162161expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  e.  RR )  /\  (
( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
163162ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
164163expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
165164reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
166105, 165mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
167166expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
168 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  ( S  e.  u  <->  S  e.  ( r (,) w
) ) )
169 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
u  C_  ( v  i^i  RR )  <->  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) )
170168, 169anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  <-> 
( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )
171170imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )  <->  ( ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
172167, 171syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
173172rexlimdvva 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( E. r  e. 
RR*  E. w  e.  RR*  u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
17486, 173syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( u  e.  ran  (,) 
->  ( ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
175174rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( E. u  e. 
ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
17682, 175mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
177 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  -> 
v  e.  (ordTop `  <_  ) )
178 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  S  =  +oo )
179 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  S  e.  v )
180178, 179eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  +oo  e.  v )
181 pnfnei 16966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  v )  ->  E. r  e.  RR  ( r (,] 
+oo )  C_  v
)
182177, 180, 181syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  E. r  e.  RR  ( r (,]  +oo )  C_  v )
183 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR  ->  r  <  +oo )
184183ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  +oo )
185 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  S  =  +oo )
186184, 185breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  S
)
187186, 1syl6breq 4078 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
18841ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
189 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
190189ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  e.  RR* )
191188, 190, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w ) )
192187, 191mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w )
193192, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
194 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( r (,] 
+oo )  C_  v
)
195194ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( r (,]  +oo )  C_  v )
19626a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  G  e. CMnd )
197113ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
198 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ph )
199198ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  ph )
200199, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
201118ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  C_  A )
202200, 201, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( F  |`  y
) : y --> ( 0 [,]  +oo )
)
203197, 202fisuppfi 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  y ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
2046, 24, 196, 197, 202, 203gsumcl 15214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2052, 204sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR* )
206190ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  e.  RR* )
207 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  C_  y )
208197, 207, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  e.  Fin )
209207, 201sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  C_  A )
210200, 209, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( F  |`  z
) : z --> ( 0 [,]  +oo )
)
211208, 210fisuppfi 14466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
2126, 24, 196, 208, 210, 211gsumcl 15214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2132, 212sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  RR* )
214 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
) )
215199, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  A  e.  V )
216 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2173, 215, 200, 216, 207xrge0gsumle 18354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  <_  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
218206, 213, 205, 214, 217xrltletrd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
) )
219 pnfge 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR*  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
220205, 219syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
221 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +oo  e.  RR*
222 elioc1 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,]  +oo )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR*  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  /\  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  <_  +oo ) ) )
223206, 221, 222sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( r (,]  +oo ) 
<->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
) )
224205, 218, 220, 223mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,]  +oo )
)
225195, 224sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )
226225, 204, 159sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
227226expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
228227ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
229228expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
230229reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
231193, 230mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
232231expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( r (,] 
+oo )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
233232rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  -> 
( E. r  e.  RR  ( r (,] 
+oo )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
234182, 233mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
235 ge0nemnf 10518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  0  <_  S )  ->  S  =/=  -oo )
23644, 60, 235syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  =/=  -oo )
23744, 236jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  e.  RR*  /\  S  =/=  -oo )
)
238237adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  ( S  e.  RR*  /\  S  =/= 
-oo ) )
239 xrnemnf 10476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/=  -oo )  <->  ( S  e.  RR  \/  S  = 
+oo ) )
240238, 239sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  ( S  e.  RR  \/  S  = 
+oo ) )
241176, 234, 240mpjaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
242241expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( S  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
24368, 242syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( S  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
244 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( S  e.  u  <->  S  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
245 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
246245imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
247246rexralbidv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
248244, 247imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )  <->  ( S  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
249243, 248syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
250249rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
25166, 250syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
252251ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
253 xrstset 16409 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  RR* s )
2543, 253resstset 13315 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  ->  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  G
) )
25564, 254ax-mp 8 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  G )
2566, 255topnval 13355 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  G )
257 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
25826a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
259 xrstps 16955 . . . . . . 7  |-  RR* s  e.  TopSp
260 resstps 16933 . . . . . . 7  |-  ( (
RR* s  e.  TopSp  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )  ->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
TopSp )
261259, 64, 260mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  TopSp
2623, 261eqeltri 2366 . . . . 5  |-  G  e. 
TopSp
263262a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2646, 256, 257, 258, 263, 136, 31eltsms 17831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( G tsums  F )  <->  ( S  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
) ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
26562, 252, 264mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( G tsums 
F ) )
266 letsr 14365 . . . . 5  |-  <_  e.  TosetRel
267 ordthaus 17128 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  e. 
Haus )
268266, 267mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  <_  )  e. 
Haus )
269 resthaus 17112 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Haus )
270268, 64, 269sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)  e.  Haus )
2716, 258, 263, 136, 31, 256, 270haustsms2 17835 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  =  { S } ) )
272265, 271mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { S }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   [,]cicc 10675   Basecbs 13164   ↾s cress 13165  TopSetcts 13230   ↾t crest 13341   topGenctg 13358  ordTopcordt 13414   RR* scxrs 13415   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417    TosetRel ctsr 14318  SubMndcsubmnd 14430  CMndccmn 15105   Topctop 16647   TopSpctps 16650   Hauscha 17052   tsums ctsu 17824
This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  18356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-ordt 13418  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825
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