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Theorem xrge0tsms 18867
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsms.g  |-  G  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
xrge0tsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
xrge0tsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
xrge0tsms.s  |-  S  =  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsms  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { S }
)
Distinct variable groups:    A, s    F, s    ph, s    G, s
Allowed substitution hints:    S( s)    V( s)

Proof of Theorem xrge0tsms
Dummy variables  r  u  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsms.s . . . . 5  |-  S  =  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )
2 iccssxr 10995 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
3 xrge0tsms.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
4 xrsbas 16719 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR*  =  ( Base `  RR* s )
53, 4ressbas2 13522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  C_ 
RR*  ->  ( 0 [,] 
+oo )  =  (
Base `  G )
)
62, 5ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,]  +oo )  =  (
Base `  G )
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )  =  (
RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )
87xrge0subm 16741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )
9 xrex 10611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR*  e.  _V
10 difexg 4353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR*  e.  _V  ->  ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V
12 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  RR* )
13 ge0nemnf 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  x  =/=  -oo )
1412, 13jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  (
x  e.  RR*  /\  x  =/=  -oo ) )
15 elxrge0 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
16 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( RR*  \  {  -oo } )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  =/= 
-oo ) )
1714, 15, 163imtr4i 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  x  e.  ( RR*  \  {  -oo } ) )
1817ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  ( RR*  \  {  -oo }
)
19 ressabs 13529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR*  \  {  -oo } )  e.  _V  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  ( RR*  \  {  -oo } ) )  -> 
( ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo }
) )s  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2011, 18, 19mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) )s  ( 0 [,]  +oo ) )  =  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )
213, 20eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo }
) )s  ( 0 [,] 
+oo ) )
227xrs10 16739 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )
2321, 22subm0 14758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  e.  (SubMnd `  ( RR* ss  ( RR*  \  {  -oo } ) ) )  -> 
0  =  ( 0g
`  G ) )
248, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g `  G )
25 xrge0cmn 16742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. CMnd
263, 25eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e. CMnd
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
28 elfpw 7410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  A  /\  s  e. 
Fin ) )
2928simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  s  e.  Fin )
3029adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  s  e.  Fin )
31 xrge0tsms.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
3228simplbi 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  s  C_  A )
33 fssres 5612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  s  C_  A )  ->  ( F  |`  s ) : s --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3431, 32, 33syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  s ) : s --> ( 0 [,] 
+oo ) )
3530, 34fisuppfi 14775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  s ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
366, 24, 27, 30, 34, 35gsumcl 15523 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
372, 36sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  e.  RR* )
38 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) )
3937, 38fmptd 5895 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
40 frn 5599 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR*  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  C_  RR* )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
42 supxrcl 10895 . . . . . 6  |-  ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  ->  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
441, 43syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
45 0ss 3658 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  A
46 0fin 7338 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
47 elfpw 7410 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  e.  Fin )
)
4845, 46, 47mpbir2an 888 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
49 0cn 9086 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
50 reseq2 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  (/) ) )
51 res0 5152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
5250, 51syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( F  |`  s )  =  (/) )
5352oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
5424gsum0 14782 . . . . . . . . 9  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  0
5553, 54syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) )  =  0 )
5638, 55elrnmpt1s 5120 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  e.  CC )  ->  0  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) )
5748, 49, 56mp2an 655 . . . . . 6  |-  0  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) )
58 supxrub 10905 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  0  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
5941, 57, 58sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6059, 1syl6breqr 4254 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
61 elxrge0 11010 . . . 4  |-  ( S  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( S  e.  RR*  /\  0  <_  S ) )
6244, 60, 61sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
63 letop 17272 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
64 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V
65 elrest 13657 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)  <->  E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
6663, 64, 65mp2an 655 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
67 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( v  i^i  ( 0 [,] 
+oo ) )  C_  v
6867sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  S  e.  v )
69 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  v  e.  (ordTop `  <_  ) )
70 reex 9083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
71 elrestr 13658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  _V  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
7263, 70, 71mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
7369, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
74 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
7574xrtgioo 18839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
7673, 75syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
77 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  v )
78 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  RR )
79 elin 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( v  i^i 
RR )  <->  ( S  e.  v  /\  S  e.  RR ) )
8077, 78, 79sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  S  e.  ( v  i^i  RR ) )
81 tg2 17032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  i^i  RR )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  S  e.  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) ) )
8276, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) ) )
83 ioof 11004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
84 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
85 ovelrn 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. r  e.  RR*  E. w  e.  RR*  u  =  ( r (,) w ) ) )
8683, 84, 85mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. r  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  u  =  ( r (,) w ) )
87 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  S  e.  ( r (,) w
) )
88 eliooord 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  ( r (,) w )  ->  (
r  <  S  /\  S  <  w ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r  <  S  /\  S  < 
w ) )
9089simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  <  S )
9190, 1syl6breq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9241ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  C_  RR* )
93 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  r  e.  RR* )
94 supxrlub 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  r  e. 
RR* )  ->  (
r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) r  <  w ) )
9592, 93, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r  <  sup ( ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w ) )
9691, 95mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w )
97 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  _V
9897rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e. 
_V
99 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  z  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  z
) )
10099oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
101100cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
102 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  -> 
( r  <  w  <->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) )
103101, 102rexrnmpt 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  _V  ->  ( E. w  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )
10498, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) r  <  w  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
10596, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
106 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
)
107106adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )
108 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  i^i  RR )  C_  v
109107, 108syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
r (,) w ) 
C_  v )
11026a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  G  e. CMnd )
111 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
112 elfpw 7410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
113112simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
114111, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  e.  Fin )
115 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ph )
116115, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  F : A --> ( 0 [,] 
+oo ) )
117112simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
118111, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  y  C_  A )
119 fssres 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  y  C_  A )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( 0 [,] 
+oo ) )
120116, 118, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( 0 [,] 
+oo ) )
121114, 120fisuppfi 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  y ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1226, 24, 110, 114, 120, 121gsumcl 15523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
1232, 122sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR* )
12493adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  e.  RR* )
125 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  y )
126 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  z  C_  y )  -> 
z  e.  Fin )
127114, 125, 126syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  e.  Fin )
128125, 118sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  z  C_  A )
129 fssres 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F : A --> ( 0 [,]  +oo )  /\  z  C_  A )  ->  ( F  |`  z ) : z --> ( 0 [,] 
+oo ) )
130116, 128, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( F  |`  z ) : z --> ( 0 [,] 
+oo ) )
131127, 130fisuppfi 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1326, 24, 110, 127, 130, 131gsumcl 15523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
1332, 132sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  RR* )
134 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
135 xrge0tsms.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
136115, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  A  e.  V )
1373, 136, 116, 111, 125xrge0gsumle 18866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  <_  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
138124, 133, 123, 134, 137xrltletrd 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
139115, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  S  e.  RR* )
140 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  w  e.  RR* )
141140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  w  e.  RR* )
142115, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
143 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
144 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( s  =  y  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  y
) )
145144oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
14638, 145elrnmpt1s 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )
147111, 143, 146sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) )
148 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR*  /\  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ran  (
s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s
) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
149142, 147, 148syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
150149, 1syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  S
)
15189simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  S  <  w )
152151adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  S  <  w )
153123, 139, 141, 150, 152xrlelttrd 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
)
154 elioo1 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w )  <-> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
) ) )
155124, 141, 154syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w )  <-> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <  w
) ) )
156123, 138, 153, 155mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,) w ) )
157109, 156sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )
158 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
159157, 122, 158sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  /\  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
160159anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  e.  RR )  /\  (
( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
161160expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  e.  RR )  /\  (
( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
162161ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
163162expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
164163reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
165105, 164mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( ( r  e. 
RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
166165expr 600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
167 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  ( S  e.  u  <->  S  e.  ( r (,) w
) ) )
168 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
u  C_  ( v  i^i  RR )  <->  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) )
169167, 168anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  <-> 
( S  e.  ( r (,) w )  /\  ( r (,) w )  C_  (
v  i^i  RR )
) ) )
170169imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )  <->  ( ( S  e.  ( r (,) w )  /\  (
r (,) w ) 
C_  ( v  i^i 
RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
171166, 170syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  /\  ( r  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)  ->  ( u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
172171rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( E. r  e. 
RR*  E. w  e.  RR*  u  =  ( r (,) w )  ->  (
( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
17386, 172syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( u  e.  ran  (,) 
->  ( ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
174173rexlimdv 2831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  ( E. u  e. 
ran  (,) ( S  e.  u  /\  u  C_  ( v  i^i  RR ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
17582, 174mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  e.  RR )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
176 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  -> 
v  e.  (ordTop `  <_  ) )
177 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  S  =  +oo )
178 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  S  e.  v )
179177, 178eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  +oo  e.  v )
180 pnfnei 17286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  v )  ->  E. r  e.  RR  ( r (,] 
+oo )  C_  v
)
181176, 179, 180syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  E. r  e.  RR  ( r (,]  +oo )  C_  v )
182 ltpnf 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR  ->  r  <  +oo )
183182ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  +oo )
184 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  S  =  +oo )
185183, 184breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  S
)
186185, 1syl6breq 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
18741ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) 
C_  RR* )
188 rexr 9132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
189188ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  r  e.  RR* )
190187, 189, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( r  <  sup ( ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  s ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w ) )
191186, 190mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. w  e.  ran  ( s  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  s ) ) ) r  <  w )
192191, 104sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
193 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( r (,] 
+oo )  C_  v
)
194193ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( r (,]  +oo )  C_  v )
19526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  G  e. CMnd )
196113ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  Fin )
197 simp-5l 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  ph )
198197, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  F : A --> ( 0 [,]  +oo ) )
199117ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  C_  A )
200198, 199, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( F  |`  y
) : y --> ( 0 [,]  +oo )
)
201196, 200fisuppfi 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  y ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
2026, 24, 195, 196, 200, 201gsumcl 15523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2032, 202sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR* )
204189ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  e.  RR* )
205 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  C_  y )
206196, 205, 126syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  e.  Fin )
207205, 199sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
z  C_  A )
208198, 207, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( F  |`  z
) : z --> ( 0 [,]  +oo )
)
209206, 208fisuppfi 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
2106, 24, 195, 206, 208, 209gsumcl 15523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2112, 210sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  RR* )
212 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
) )
213197, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  ->  A  e.  V )
214 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2153, 213, 198, 214, 205xrge0gsumle 18866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  <_  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
216204, 211, 203, 212, 215xrltletrd 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
) )
217 pnfge 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR*  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
218203, 217syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
219 pnfxr 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +oo  e.  RR*
220 elioc1 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,]  +oo )  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  RR*  /\  r  <  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  /\  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  <_  +oo ) ) )
221204, 219, 220sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( r (,]  +oo ) 
<->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e. 
RR*  /\  r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  /\  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  <_  +oo )
) )
222203, 216, 218, 221mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( r (,]  +oo )
)
223194, 222sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )
224223, 202, 158sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  z  C_  y ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) )
225224expr 600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  /\  S  =  +oo )  /\  (
r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
226225ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  r  < 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
227226expr 600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
228227reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) r  <  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
229192, 228mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  /\  ( r  e.  RR  /\  ( r (,]  +oo )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
230181, 229rexlimddv 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v ) )  /\  S  =  +oo )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
231 ge0nemnf 10763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  0  <_  S )  ->  S  =/=  -oo )
23244, 60, 231syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  =/=  -oo )
23344, 232jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  e.  RR*  /\  S  =/=  -oo )
)
234233adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  ( S  e.  RR*  /\  S  =/= 
-oo ) )
235 xrnemnf 10720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  S  =/=  -oo )  <->  ( S  e.  RR  \/  S  = 
+oo ) )
236234, 235sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  ( S  e.  RR  \/  S  = 
+oo ) )
237175, 230, 236mpjaodan 763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  (ordTop `  <_  )  /\  S  e.  v )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
238237expr 600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( S  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
23968, 238syl5 31 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( S  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) ) )
240 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( S  e.  u  <->  S  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) )
241 eleq2 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) ) ) )
242241imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
243242rexralbidv 2751 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) )
244240, 243imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  (
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )  <->  ( S  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( v  i^i  (
0 [,]  +oo ) ) ) ) ) )
245239, 244syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
246245rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  (ordTop `  <_  ) u  =  ( v  i^i  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
24766, 246syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
248247ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) ) ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
249 xrstset 16722 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  RR* s )
2503, 249resstset 13622 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,]  +oo )  e.  _V  ->  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  G
) )
25164, 250ax-mp 8 . . . . 5  |-  (ordTop `  <_  )  =  (TopSet `  G )
2526, 251topnval 13664 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( TopOpen `  G )
253 eqid 2438 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
25426a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
255 xrstps 17275 . . . . . . 7  |-  RR* s  e.  TopSp
256 resstps 17253 . . . . . . 7  |-  ( (
RR* s  e.  TopSp  /\  ( 0 [,]  +oo )  e.  _V )  ->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
TopSp )
257255, 64, 256mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  TopSp
2583, 257eqeltri 2508 . . . . 5  |-  G  e. 
TopSp
259258a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2606, 252, 253, 254, 259, 135, 31eltsms 18164 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( G tsums  F )  <->  ( S  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  A. u  e.  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
) ( S  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
26162, 248, 260mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( G tsums 
F ) )
262 letsr 14674 . . . . 5  |-  <_  e.  TosetRel
263 ordthaus 17450 . . . . 5  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  (ordTop `  <_  )  e. 
Haus )
264262, 263mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  <_  )  e. 
Haus )
265 resthaus 17434 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] 
+oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Haus )
266264, 64, 265sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)  e.  Haus )
2676, 254, 259, 135, 31, 252, 266haustsms2 18168 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  =  { S } ) )
268261, 267mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { S }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   (,]cioc 10919   [,]cicc 10921   Basecbs 13471   ↾s cress 13472  TopSetcts 13537   ↾t crest 13650   topGenctg 13667  ordTopcordt 13723   RR* scxrs 13724   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726    TosetRel ctsr 14627  SubMndcsubmnd 14739  CMndccmn 15414   Topctop 16960   TopSpctps 16963   Hauscha 17374   tsums ctsu 18157
This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  18868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-cn 17293  df-haus 17381  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tsms 18158
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