Theorem xrlenltt 5501

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals.

Assertion

Ref	Expression
xrlenltt	|- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. B < A))

Proof of Theorem xrlenltt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 3217	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> <.A, B>. e. (RR* X. RR*))
2		df-le 5491	. . . . . . 7 |- <_ = ((RR* X. RR*) \ `' < )
3	2	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. <_ <-> <.A, B>. e. ((RR* X. RR*) \ `' < ))
4		eldif 2057	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. ((RR* X. RR*) \ `' < ) <-> (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) /\ -. <.A, B>. e. `' < ))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- (<.A, B>. e. <_ <-> (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) /\ -. <.A, B>. e. `' < ))
6	5	baib 685	. . . 4 |- (<.A, B>. e. (RR* X. RR*) -> (<.A, B>. e. <_ <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
7	1, 6	syl 10	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (<.A, B>. e. <_ <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
8		df-br 2620	. . 3 |- (A <_ B <-> <.A, B>. e. <_ )
9	7, 8	syl5bb 532	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
10		opelcnvg 3296	. . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (<.A, B>. e. `' < <-> <.B, A>. e. < ))
11		df-br 2620	. . . 4 |- (B < A <-> <.B, A>. e. < )
12	10, 11	syl6rbbr 539	. . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (B < A <-> <.A, B>. e. `' < ))
13	12	negbid 611	. 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (-. B < A <-> -. <.A, B>. e. `' < ))
14	9, 13	bitr4d 531	1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> (A <_ B <-> -. B < A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   \ cdif 2044  <.cop 2411   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  `'ccnv 3169   <_ cle 5295  RR*cxr 5485   < clt 5486

This theorem is referenced by:  xrltnlet 5502  lenltt 5510  pnfget 5548  mnflet 5549  xrleloet 5557  supxr2 6082  supxrbnd 6091  supxrbnd1 6095  supxrbnd2 6096  supxrub 6098  supxrleub 6099  ioon0t 6369  nmlnogt0 8457  iintlem1 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-le 5491

Copyright terms: Public domain