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Theorem xrlimcnp 20808
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at  +oo. Since any  ~~> r limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
xrlimcnp.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
xrlimcnp.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
xrlimcnp.c  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
xrlimcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrlimcnp.k  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    ph, x    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    R( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables  k 
r  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
2 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
31, 2fmptd 5894 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
43adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
5 ssun2 3512 . . . . . . . . . 10  |-  {  +oo } 
C_  ( B  u.  { 
+oo } )
6 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76elexi 2966 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  _V
87snid 3842 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  { 
+oo }
95, 8sselii 3346 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( B  u.  {  +oo } )
10 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
119, 10syl5eleqr 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  +oo  e.  A )
121ralrimiva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
13 xrlimcnp.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
1413eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
1514rspcv 3049 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
1611, 12, 15sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1713, 2fvmptg 5805 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1811, 16, 17syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1918ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C )
2019eleq1d 2503 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  <->  C  e.  y ) )
21 cnxmet 18808 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
22 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopn 18817 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
2423mopni2 18524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
2521, 24mp3an1 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
26 ssun1 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( B  u.  {  +oo } )
2726, 10syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
28 ssralv 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC ) )
2927, 12, 28sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
31 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  r  e.  RR+ )
32 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
3330, 31, 32rlimi 12308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
34 letop 17271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (ordTop `  <_  )  e.  Top )
36 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
37 ressxr 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3836, 37syl6ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  +oo  e.  RR* )
4039snssd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  {  +oo }  C_  RR* )
4138, 40unssd 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {  +oo } )  C_  RR* )
4210, 41eqsstrd 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
43 xrex 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR*  e.  _V
4443ssex 4348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  e.  _V )
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  e.  _V )
47 iocpnfordt 17280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )
49 elrestr 13657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  ( k (,] 
+oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
5035, 46, 48, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
51 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
5250, 51syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  K
)
53 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR )
5453rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR* )
556a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
56 ltpnf 10722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  +oo )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  <  +oo )
58 ubioc1 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  k  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo ) )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
)
6011ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  A
)
61 elin 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  +oo  e.  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  /\  +oo  e.  A
) )
6259, 60, 61sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )
63 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
6463rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR* )
65 elioc1 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  < 
x  /\  x  <_  +oo ) ) )
6664, 6, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
67 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo )  ->  k  < 
x )
6866, 67syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <  x
) )
6936ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  C_  RR )
7069sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  RR )
71 ltle 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x )
)
7263, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x ) )
7368, 72syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <_  x
) )
7421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
75 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  r  e.  RR+ )
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR+ )
77 rpxr 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR* )
7916ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
8029ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
8180r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
82 elbl3 18423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  R  e.  CC ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
8374, 78, 79, 81, 82syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  <  r )
)
84 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8584cnmetdval 18806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
8681, 79, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  =  ( abs `  ( R  -  C ) ) )
8786breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
8883, 87bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
8988biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9073, 89imim12d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
9190ralimdva 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  (
k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
9291impr 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9416ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  CC )
95 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
96 blcntr 18444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9897a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
99 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
) )
10013eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10199, 100imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
1027, 101ralsn 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  {  +oo } 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10398, 102sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
104 ralunb 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
10592, 103, 104sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,] 
+oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10610ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo } ) )
107106raleqdv 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
108105, 107mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
109 ss2rab 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) }  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
110108, 109sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) } )
111 incom 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( k (,]  +oo ) )
112 dfin5 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  ( k (,] 
+oo ) )  =  { x  e.  A  |  x  e.  (
k (,]  +oo ) }
113111, 112eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  {
x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }
1142mptpreima 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) }
115110, 113, 1143sstr4g 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) "
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
116 funmpt 5490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  R )
117 inss2 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  C_  A
1183ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
119 fdm 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
121117, 120syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )
122 funimass3 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  R )  /\  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
123116, 121, 122sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
124115, 123mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
125 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
126124, 125sstrd 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y )
127 eleq2 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) )
128 imaeq2 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " z )  =  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
) ) )
129128sseq1d 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y ) )
130127, 129anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )  <->  ( 
+oo  e.  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
131130rspcev 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  K  /\  (  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) )
13252, 62, 126, 131syl12anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
133132rexlimdvaa 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
134133adantlr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13533, 134mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
136135rexlimdvaa 2832 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13725, 136syl5 31 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
138137expdimp 428 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( C  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13920, 138sylbid 208 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  ( 
+oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
140139ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  ->  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
141 letopon 17270 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
142 resttopon 17226 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  A  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A
) )
143141, 42, 142sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
14451, 143syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  A ) )
14522cnfldtopon 18818 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
146145a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
147 iscnp 17302 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  A )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )  /\  +oo  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) ) ) )
148144, 146, 11, 147syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
149148adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
1504, 140, 149mpbir2and 890 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
151 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
15221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
15316ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
15477adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
15523blopn 18531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
156152, 153, 154, 155syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J )
15718ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
158 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
159152, 153, 158, 96syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
160157, 159eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
161 cnpimaex 17321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo )  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
162151, 156, 160, 161syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
163 vex 2960 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
164163inex1 4345 . . . . . . . 8  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  _V )
16651eleq2i 2501 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
16745ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A  e.  _V )
168 elrest 13656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i 
A ) ) )
16934, 167, 168sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
170166, 169syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  K  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
171 eleq2 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( w  i^i  A ) ) )
172 imaeq2 5200 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) )
173172sseq1d 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
174171, 173anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
(  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
175174adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
176165, 170, 175rexxfr2d 4741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
177162, 176mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
178 inss1 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  i^i  A )  C_  w
179178sseli 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  ->  +oo  e.  w
)
180 pnfnei 17285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  w )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
181179, 180sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
182 df-ima 4892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )
183 inss2 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  A )  C_  A
184 resmpt 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) )
185183, 184ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )
186185rneqi 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ran  (
x  e.  ( w  i^i  A )  |->  R )
187182, 186eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )
188187sseq1i 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
189 dfss3 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R ) z  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
190188, 189bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  (
w  i^i  A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
19112adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
192 ssralv 3408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC ) )
193183, 191, 192mpsyl 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  CC )
194 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )
195 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  R  ->  (
z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
196194, 195ralrnmpt 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
197193, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
198197biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
199190, 198syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
200 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( k (,]  +oo )  C_  w )
20138ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  B  C_  RR* )
202 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  B )
203201, 202sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  RR* )
204 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  <  x )
205 pnfge 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  +oo )
206203, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  <_  +oo )
207 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR )
208207rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR* )
209208, 6, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
210203, 204, 206, 209mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( k (,]  +oo ) )
211200, 210sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  w )
21227ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  B  C_  A
)
213212sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
214213adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  A )
215 elin 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  A ) )
216211, 214, 215sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( w  i^i  A ) )
217216ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  x  e.  ( w  i^i  A
) ) )
218217imim1d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
21921a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
22077adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
221220ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
r  e.  RR* )
22216ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  C  e.  CC )
22329ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
224223r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
225224adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  R  e.  CC )
226219, 221, 222, 225, 82syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
227225, 222, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
228227breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) )
229226, 228bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
230229pm5.74da 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
231218, 230sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
232231exp4a 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r ) ) ) )
233232ralimdv2 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
234233imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
235234an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
236235expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( k (,]  +oo )  C_  w  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
237236reximdva 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
238237ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
239199, 238syld 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
240239com23 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
241181, 240syl5 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
242241impl 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
243242expimpd 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
244243rexlimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
245244adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
246177, 245mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
247246ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
24829, 36, 16rlim2lt 12292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
249248adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
250247, 249mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
251150, 250impbida 807 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   {crab 2710   _Vcvv 2957    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   ran crn 4880    |` cres 4881   "cima 4882    o. ccom 4883   Fun wfun 5449   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990    +oocpnf 9118   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   RR+crp 10613   (,]cioc 10918   abscabs 12040    ~~> r crli 12280   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ordTopcordt 13722   * Metcxmt 16687   ballcbl 16689  ℂfldccnfld 16704   Topctop 16959  TopOnctopon 16960    CnP ccnp 17290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-rlim 12284  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-ordt 13726  df-ps 14630  df-tsr 14631  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cnp 17293  df-xms 18351  df-ms 18352
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