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Theorem xrlimcnp 20808
 Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at . Since any limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a
xrlimcnp.b
xrlimcnp.r
xrlimcnp.c
xrlimcnp.j fld
xrlimcnp.k ordTop t
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5
2 eqid 2437 . . . . 5
31, 2fmptd 5894 . . . 4
43adantr 453 . . 3
5 ssun2 3512 . . . . . . . . . 10
6 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . 12
76elexi 2966 . . . . . . . . . . 11
87snid 3842 . . . . . . . . . 10
95, 8sselii 3346 . . . . . . . . 9
10 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9
119, 10syl5eleqr 2524 . . . . . . . 8
121ralrimiva 2790 . . . . . . . . 9
13 xrlimcnp.c . . . . . . . . . . 11
1413eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10
1514rspcv 3049 . . . . . . . . 9
1611, 12, 15sylc 59 . . . . . . . 8
1713, 2fvmptg 5805 . . . . . . . 8
1811, 16, 17syl2anc 644 . . . . . . 7
1918ad2antrr 708 . . . . . 6
2019eleq1d 2503 . . . . 5
21 cnxmet 18808 . . . . . . . 8
22 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10 fld
2322cnfldtopn 18817 . . . . . . . . 9
2423mopni2 18524 . . . . . . . 8
2521, 24mp3an1 1267 . . . . . . 7
26 ssun1 3511 . . . . . . . . . . . . 13
2726, 10syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . . . 12
28 ssralv 3408 . . . . . . . . . . . 12
2927, 12, 28sylc 59 . . . . . . . . . . 11
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
31 simprl 734 . . . . . . . . . 10
32 simplr 733 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 32rlimi 12308 . . . . . . . . 9
34 letop 17271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ordTop
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop
36 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 ressxr 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3836, 37syl6ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039snssd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4138, 40unssd 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4210, 41eqsstrd 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 xrex 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443ssex 4348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14
47 iocpnfordt 17280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ordTop
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop
49 elrestr 13657 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop ordTop ordTop t
5035, 46, 48, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop t
51 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . 13 ordTop t
5250, 51syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . . 12
53 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . 14
556a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
56 ltpnf 10722 . . . . . . . . . . . . . . 15
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
58 ubioc1 10966 . . . . . . . . . . . . . 14
5954, 55, 57, 58syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
6011ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
61 elin 3531 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 60, 61sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12
63 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6463rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
65 elioc1 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6664, 6, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6866, 67syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6936ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7069sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
71 ltle 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7263, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7368, 72syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
75 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
77 rpxr 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7916ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8029ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8180r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82 elbl3 18423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8374, 78, 79, 81, 82syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8584cnmetdval 18806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8681, 79, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8786breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8883, 87bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9073, 89imim12d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190ralimdva 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291impr 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9416ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96 blcntr 18444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10013eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10199, 100imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1027, 101ralsn 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10398, 102sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 ralunb 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10592, 103, 104sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10610ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106raleqdv 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108105, 107mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 ss2rab 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 incom 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112 dfin5 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113111, 112eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1142mptpreima 5364 . . . . . . . . . . . . . . 15
115110, 113, 1143sstr4g 3390 . . . . . . . . . . . . . 14
116 funmpt 5490 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 inss2 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1183ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 fdm 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121117, 120syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 funimass3 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15
123116, 121, 122sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14
124115, 123mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
125 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13
126124, 125sstrd 3359 . . . . . . . . . . . 12
127 eleq2 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
128 imaeq2 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128sseq1d 3376 . . . . . . . . . . . . . 14
130127, 129anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13
131130rspcev 3053 . . . . . . . . . . . 12
13252, 62, 126, 131syl12anc 1183 . . . . . . . . . . 11
133132rexlimdvaa 2832 . . . . . . . . . 10
134133adantlr 697 . . . . . . . . 9
13533, 134mpd 15 . . . . . . . 8
136135rexlimdvaa 2832 . . . . . . 7
13725, 136syl5 31 . . . . . 6
138137expdimp 428 . . . . 5
13920, 138sylbid 208 . . . 4
140139ralrimiva 2790 . . 3
141 letopon 17270 . . . . . . 7 ordTop TopOn
142 resttopon 17226 . . . . . . 7 ordTop TopOn ordTop t TopOn
143141, 42, 142sylancr 646 . . . . . 6 ordTop t TopOn
14451, 143syl5eqel 2521 . . . . 5 TopOn
14522cnfldtopon 18818 . . . . . 6 TopOn
146145a1i 11 . . . . 5 TopOn
147 iscnp 17302 . . . . 5 TopOn TopOn
148144, 146, 11, 147syl3anc 1185 . . . 4
149148adantr 453 . . 3
1504, 140, 149mpbir2and 890 . 2
151 simplr 733 . . . . . . 7
15221a1i 11 . . . . . . . 8
15316ad2antrr 708 . . . . . . . 8
15477adantl 454 . . . . . . . 8
15523blopn 18531 . . . . . . . 8
156152, 153, 154, 155syl3anc 1185 . . . . . . 7
15718ad2antrr 708 . . . . . . . 8
158 simpr 449 . . . . . . . . 9
159152, 153, 158, 96syl3anc 1185 . . . . . . . 8
160157, 159eqeltrd 2511 . . . . . . 7
161 cnpimaex 17321 . . . . . . 7
162151, 156, 160, 161syl3anc 1185 . . . . . 6
163 vex 2960 . . . . . . . . 9
164163inex1 4345 . . . . . . . 8
165164a1i 11 . . . . . . 7 ordTop
16651eleq2i 2501 . . . . . . . 8 ordTop t
16745ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
168 elrest 13656 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop t ordTop
16934, 167, 168sylancr 646 . . . . . . . 8 ordTop t ordTop
170166, 169syl5bb 250 . . . . . . 7 ordTop
171 eleq2 2498 . . . . . . . . 9
172 imaeq2 5200 . . . . . . . . . 10
173172sseq1d 3376 . . . . . . . . 9
174171, 173anbi12d 693 . . . . . . . 8
175174adantl 454 . . . . . . 7
176165, 170, 175rexxfr2d 4741 . . . . . 6 ordTop
177162, 176mpbid 203 . . . . 5 ordTop
178 inss1 3562 . . . . . . . . . . . 12
179178sseli 3345 . . . . . . . . . . 11
180 pnfnei 17285 . . . . . . . . . . 11 ordTop
181179, 180sylan2 462 . . . . . . . . . 10 ordTop
182 df-ima 4892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183 inss2 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
184 resmpt 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185183, 184ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186185rneqi 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187182, 186eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
188187sseq1i 3373 . . . . . . . . . . . . . 14
189 dfss3 3339 . . . . . . . . . . . . . 14
190188, 189bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13
19112adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192 ssralv 3408 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193183, 191, 192mpsyl 62 . . . . . . . . . . . . . . 15
194 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196194, 195ralrnmpt 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
197193, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
198197biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13
199190, 198syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12
200 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
20138ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
202 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
203201, 202sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
204 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
205 pnfge 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
206203, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
207 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
208207rexrd 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
209208, 6, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
210203, 204, 206, 209mpbir3and 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
211200, 210sseldd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21227ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
213212sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
214213adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
215 elin 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
216211, 214, 215sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
217216ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
218217imim1d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21921a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22077adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
221220ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22216ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
22329ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
224223r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
225224adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
226219, 221, 222, 225, 82syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
227225, 222, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
228227breq1d 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
229226, 228bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
230229pm5.74da 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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