HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8154
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8153 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 735 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 746 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8126 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 475 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7087 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8120 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8147 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1271 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 483 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 681 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 443 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 725 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 898 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 382   e. wcel 1459   class class class wbr 3378  RRcr 6965   <_ cle 7074   +oocpnf 7075   -oocmnf 7076  RR*cxr 7077   < clt 7078
This theorem is referenced by:  tgioo 11272  nmobndi 11706  ubthlem3 11804  nmophmi 13134  bdophsi 13199  bdopcoi 13201  ovollecl 13789  ovolunlem1 13800  ovoliunlem1 13804  ioombl1lemb 13851  itg2lecl 13941  elioc3 15283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3464  ax-sep 3474  ax-nul 3483  ax-pow 3519  ax-pr 3543  ax-un 3813  ax-inf2 6039  ax-resscn 7020  ax-1cn 7021  ax-icn 7022  ax-addcl 7023  ax-addrcl 7024  ax-mulcl 7025  ax-mulrcl 7026  ax-mulcom 7027  ax-addass 7028  ax-mulass 7029  ax-distr 7030  ax-i2m1 7031  ax-1ne0 7032  ax-1rid 7033  ax-rnegex 7034  ax-rrecex 7035  ax-cnre 7036  ax-pre-lttri 7037  ax-pre-lttrn 7038  ax-pre-ltadd 7039  ax-pre-mulgt0 7040  ax-pre-sup 7041
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3086  df-sn 3101  df-pr 3102  df-tp 3104  df-op 3105  df-uni 3234  df-iun 3306  df-br 3379  df-opab 3433  df-tr 3448  df-eprel 3626  df-id 3629  df-po 3634  df-so 3648  df-fr 3667  df-we 3683  df-ord 3699  df-on 3700  df-lim 3701  df-suc 3702  df-om 3969  df-xp 4016  df-rel 4017  df-cnv 4018  df-co 4019  df-dm 4020  df-rn 4021  df-res 4022  df-ima 4023  df-fun 4024  df-fn 4025  df-f 4026  df-f1 4027  df-fo 4028  df-f1o 4029  df-fv 4030  df-ov 4931  df-oprab 4932  df-mpt 5066  df-mpt2 5067  df-1st 5136  df-2nd 5137  df-iota 5240  df-rdg 5326  df-er 5500  df-map 5588  df-en 5645  df-dom 5646  df-sdom 5647  df-riota 5788  df-sup 5961  df-pnf 7079  df-mnf 7080  df-xr 7081  df-ltxr 7082  df-le 7083  df-sub 7207  df-neg 7209  df-div 7433  df-n 7668  df-n0 7838  df-z 7882  df-uz 8002  df-q 8084
Copyright terms: Public domain