HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8301
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 710 . 2
2 ltpnf 8273 . . . . . 6
32adantl 444 . . . . 5
4 rexr 7228 . . . . . 6
5 pnfxr 8267 . . . . . . 7
6 xrlelttr 8294 . . . . . . 7
75, 6mp3an3 1225 . . . . . 6
84, 7sylan2 452 . . . . 5
93, 8mpan2d 649 . . . 4
109imp 413 . . 3
1110adantrl 689 . 2
12 xrrebnd 8300 . . 3
1312ad2antrr 699 . 2
141, 11, 13mpbir2and 847 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 173   wa 356   wcel 1415   class class class wbr 3358  cr 7106   cle 7215   cpnf 7216   cmnf 7217  cxr 7218   clt 7219
This theorem is referenced by:  supxrre 8348  infmxrre 8355  caucvglem 9367  tgioo 12078  nmobndi 12517  ubthlem3 12615  ovollecl 12729  ovolunlem1 12741  ovoliunlem1 12745  ioombl1lem2 12794  itg2lecl 12939  itg2monolem2 12952  nmophmi 14707  bdophsi 14772  bdopcoi 14774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1330  ax-6 1331  ax-7 1332  ax-gen 1333  ax-8 1417  ax-10 1418  ax-11 1419  ax-12 1420  ax-13 1421  ax-14 1422  ax-17 1429  ax-9 1444  ax-4 1450  ax-16 1628  ax-ext 1899  ax-rep 3444  ax-sep 3454  ax-nul 3463  ax-pow 3499  ax-pr 3523  ax-un 3797  ax-inf2 6154  ax-resscn 7161  ax-1cn 7162  ax-icn 7163  ax-addcl 7164  ax-addrcl 7165  ax-mulcl 7166  ax-mulrcl 7167  ax-mulcom 7168  ax-addass 7169  ax-mulass 7170  ax-distr 7171  ax-i2m1 7172  ax-1ne0 7173  ax-1rid 7174  ax-rnegex 7175  ax-rrecex 7176  ax-cnre 7177  ax-pre-lttri 7178  ax-pre-lttrn 7179  ax-pre-ltadd 7180  ax-pre-mulgt0 7181  ax-pre-sup 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 174  df-or 357  df-an 358  df-3or 899  df-3an 900  df-tru 1308  df-ex 1335  df-sb 1590  df-eu 1817  df-mo 1818  df-clab 1905  df-cleq 1910  df-clel 1913  df-ne 2036  df-nel 2037  df-ral 2129  df-rex 2130  df-reu 2131  df-rab 2132  df-v 2324  df-sbc 2491  df-csb 2573  df-dif 2635  df-un 2637  df-in 2639  df-ss 2641  df-pss 2643  df-nul 2899  df-if 3004  df-pw 3062  df-sn 3079  df-pr 3080  df-tp 3081  df-op 3082  df-uni 3214  df-iun 3286  df-br 3359  df-opab 3413  df-tr 3428  df-eprel 3608  df-id 3611  df-po 3616  df-so 3630  df-fr 3650  df-we 3666  df-ord 3682  df-on 3683  df-lim 3684  df-suc 3685  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4946  df-oprab 4947  df-mpt 5106  df-mpt2 5107  df-1st 5231  df-2nd 5232  df-iota 5336  df-rdg 5424  df-er 5598  df-map 5690  df-en 5750  df-dom 5751  df-sdom 5752  df-riota 5896  df-sup 6075  df-pnf 7220  df-mnf 7221  df-xr 7222  df-ltxr 7223  df-le 7224  df-sub 7349  df-neg 7351  df-div 7575  df-n 7814  df-n0 7984  df-z 8029  df-uz 8149  df-q 8231
Copyright terms: Public domain