HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8149
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8148 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 735 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 746 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8121 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 475 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7083 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8115 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8142 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1271 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 483 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 681 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 443 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 725 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 898 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 382   e. wcel 1459   class class class wbr 3376  RRcr 6961   <_ cle 7070   +oocpnf 7071   -oocmnf 7072  RR*cxr 7073   < clt 7074
This theorem is referenced by:  tgioo 11250  nmobndi 11684  ubthlem3 11782  nmophmi 13080  bdophsi 13145  bdopcoi 13147  ovollecl 13698  ovolunlem1 13709  ovoliunlem1 13713  ioombl1lemb 13760  itg2lecl 13844  elioc3 15139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3462  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pow 3517  ax-pr 3541  ax-un 3811  ax-inf2 6035  ax-resscn 7016  ax-1cn 7017  ax-icn 7018  ax-addcl 7019  ax-addrcl 7020  ax-mulcl 7021  ax-mulrcl 7022  ax-mulcom 7023  ax-addass 7024  ax-mulass 7025  ax-distr 7026  ax-i2m1 7027  ax-1ne0 7028  ax-1rid 7029  ax-rnegex 7030  ax-rrecex 7031  ax-cnre 7032  ax-pre-lttri 7033  ax-pre-lttrn 7034  ax-pre-ltadd 7035  ax-pre-mulgt0 7036  ax-pre-sup 7037
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-nel 2081  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3084  df-sn 3099  df-pr 3100  df-tp 3102  df-op 3103  df-uni 3232  df-iun 3304  df-br 3377  df-opab 3431  df-tr 3446  df-eprel 3624  df-id 3627  df-po 3632  df-so 3646  df-fr 3665  df-we 3681  df-ord 3697  df-on 3698  df-lim 3699  df-suc 3700  df-om 3967  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fn 4023  df-f 4024  df-f1 4025  df-fo 4026  df-f1o 4027  df-fv 4028  df-ov 4928  df-oprab 4929  df-mpt 5063  df-mpt2 5064  df-1st 5132  df-2nd 5133  df-iota 5236  df-rdg 5322  df-er 5496  df-map 5584  df-en 5641  df-dom 5642  df-sdom 5643  df-riota 5784  df-sup 5957  df-pnf 7075  df-mnf 7076  df-xr 7077  df-ltxr 7078  df-le 7079  df-sub 7203  df-neg 7205  df-div 7429  df-n 7663  df-n0 7833  df-z 7877  df-uz 7997  df-q 8079
Copyright terms: Public domain