HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8424
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 711 . 2
2 ltpnf 8396 . . . . . 6
32adantl 445 . . . . 5
4 rexr 7333 . . . . . 6
5 pnfxr 8390 . . . . . . 7
6 xrlelttr 8417 . . . . . . 7
75, 6mp3an3 1226 . . . . . 6
84, 7sylan2 453 . . . . 5
93, 8mpan2d 650 . . . 4
109imp 414 . . 3
1110adantrl 690 . 2
12 xrrebnd 8423 . . 3
1312ad2antrr 700 . 2
141, 11, 13mpbir2and 848 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 357   wcel 1416   class class class wbr 3383  cr 7211   cle 7320   cpnf 7321   cmnf 7322  cxr 7323   clt 7324
This theorem is referenced by:  supxrre 8473  infmxrre 8480  caucvglem 9513  tgioo 12651  nmobndi 13118  ubthlem3 13216  ovollecl 13340  ovolunlem1 13353  ovoliunlem1 13358  ioombl1lem2 13413  itg2lecl 13588  itg2monolem2 13601  dvferm1lem 13795  radcnvle 14007  psercnlem1 14012  nmophmi 15599  bdophsi 15664  bdopcoi 15666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-rep 3469  ax-sep 3479  ax-nul 3488  ax-pow 3524  ax-pr 3548  ax-un 3823  ax-inf2 6256  ax-resscn 7266  ax-1cn 7267  ax-icn 7268  ax-addcl 7269  ax-addrcl 7270  ax-mulcl 7271  ax-mulrcl 7272  ax-mulcom 7273  ax-addass 7274  ax-mulass 7275  ax-distr 7276  ax-i2m1 7277  ax-1ne0 7278  ax-1rid 7279  ax-rnegex 7280  ax-rrecex 7281  ax-cnre 7282  ax-pre-lttri 7283  ax-pre-lttrn 7284  ax-pre-ltadd 7285  ax-pre-mulgt0 7286  ax-pre-sup 7287
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-tru 1309  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-nel 2038  df-ral 2131  df-rex 2132  df-reu 2133  df-rab 2134  df-v 2328  df-sbc 2495  df-csb 2577  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2647  df-pss 2649  df-nul 2905  df-if 3012  df-pw 3072  df-sn 3089  df-pr 3090  df-tp 3091  df-op 3092  df-uni 3234  df-iun 3307  df-br 3384  df-opab 3438  df-tr 3453  df-eprel 3634  df-id 3637  df-po 3642  df-so 3656  df-fr 3676  df-we 3692  df-ord 3708  df-on 3709  df-lim 3710  df-suc 3711  df-om 3988  df-xp 4035  df-rel 4036  df-cnv 4037  df-co 4038  df-dm 4039  df-rn 4040  df-res 4041  df-ima 4042  df-fun 4043  df-fn 4044  df-f 4045  df-f1 4046  df-fo 4047  df-f1o 4048  df-fv 4049  df-ov 5004  df-oprab 5005  df-mpt 5165  df-mpt2 5166  df-1st 5296  df-2nd 5297  df-iota 5407  df-rdg 5498  df-er 5673  df-map 5765  df-en 5830  df-dom 5831  df-sdom 5832  df-riota 5987  df-sup 6170  df-pnf 7325  df-mnf 7326  df-xr 7327  df-ltxr 7328  df-le 7329  df-sub 7455  df-neg 7457  df-div 7682  df-n 7921  df-n0 8105  df-z 8150  df-uz 8272  df-q 8354
Copyright terms: Public domain