HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8190
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8189 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 735 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 746 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8162 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 475 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7120 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8156 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8183 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1271 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 483 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 681 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 443 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 725 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 898 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 382   e. wcel 1459   class class class wbr 3379  RRcr 6998   <_ cle 7107   +oocpnf 7108   -oocmnf 7109  RR*cxr 7110   < clt 7111
This theorem is referenced by:  tgioo 11286  nmobndi 11725  ubthlem3 11823  ovollecl 11930  ovolunlem1 11942  ovoliunlem1 11946  ioombl1lem2 11995  itg2lecl 12116  itg2monolem2 12129  nmophmi 13679  bdophsi 13744  bdopcoi 13746  elioc3 15385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072  ax-resscn 7053  ax-1cn 7054  ax-icn 7055  ax-addcl 7056  ax-addrcl 7057  ax-mulcl 7058  ax-mulrcl 7059  ax-mulcom 7060  ax-addass 7061  ax-mulass 7062  ax-distr 7063  ax-i2m1 7064  ax-1ne0 7065  ax-1rid 7066  ax-rnegex 7067  ax-rrecex 7068  ax-cnre 7069  ax-pre-lttri 7070  ax-pre-lttrn 7071  ax-pre-ltadd 7072  ax-pre-mulgt0 7073  ax-pre-sup 7074
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-nel 2082  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-f1 4033  df-fo 4034  df-f1o 4035  df-fv 4036  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-iota 5273  df-rdg 5359  df-er 5533  df-map 5621  df-en 5678  df-dom 5679  df-sdom 5680  df-riota 5821  df-sup 5994  df-pnf 7112  df-mnf 7113  df-xr 7114  df-ltxr 7115  df-le 7116  df-sub 7240  df-neg 7242  df-div 7466  df-n 7704  df-n0 7874  df-z 7918  df-uz 8038  df-q 8120
Copyright terms: Public domain