HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8185
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8184 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 712 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 723 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8157 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 453 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7113 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8151 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8178 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1246 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 461 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 658 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 421 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 702 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 874 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 174   /\ wa 361   e. wcel 1436   class class class wbr 3362  RRcr 6991   <_ cle 7100   +oocpnf 7101   -oocmnf 7102  RR*cxr 7103   < clt 7104
This theorem is referenced by:  supxrre 8232  infmxrre 8239  caucvglem 9237  tgioo 11447  nmobndi 11886  ubthlem3 11984  ovollecl 12098  ovolunlem1 12110  ovoliunlem1 12114  ioombl1lem2 12163  itg2lecl 12308  itg2monolem2 12321  nmophmi 14073  bdophsi 14138  bdopcoi 14140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6064  ax-resscn 7046  ax-1cn 7047  ax-icn 7048  ax-addcl 7049  ax-addrcl 7050  ax-mulcl 7051  ax-mulrcl 7052  ax-mulcom 7053  ax-addass 7054  ax-mulass 7055  ax-distr 7056  ax-i2m1 7057  ax-1ne0 7058  ax-1rid 7059  ax-rnegex 7060  ax-rrecex 7061  ax-cnre 7062  ax-pre-lttri 7063  ax-pre-lttrn 7064  ax-pre-ltadd 7065  ax-pre-mulgt0 7066  ax-pre-sup 7067
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4924  df-oprab 4925  df-mpt 5059  df-mpt2 5060  df-1st 5158  df-2nd 5159  df-iota 5263  df-rdg 5349  df-er 5523  df-map 5611  df-en 5668  df-dom 5669  df-sdom 5670  df-riota 5811  df-sup 5985  df-pnf 7105  df-mnf 7106  df-xr 7107  df-ltxr 7108  df-le 7109  df-sub 7234  df-neg 7236  df-div 7460  df-n 7699  df-n0 7869  df-z 7913  df-uz 8033  df-q 8115
Copyright terms: Public domain