MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre Unicode version

Theorem xrre 10377
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 735 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  -oo  <  A )
2 ltpnf 10342 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  +oo )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  <  +oo )
4 rexr 8757 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
5 pnfxr 10334 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
6 xrlelttr 10366 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  +oo )  ->  A  <  +oo ) )
75, 6mp3an3 1271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  +oo )  ->  A  <  +oo )
)
84, 7sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  +oo )  ->  A  <  +oo )
)
93, 8mpan2d 658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <  +oo ) )
109imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  A  <  +oo )
1110adantrl 699 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  <  +oo )
12 xrrebnd 10376 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  RR  <->  (  -oo  <  A  /\  A  <  +oo ) ) )
1312ad2antrr 709 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  <->  (  -oo  <  A  /\  A  <  +oo ) ) )
141, 11, 13mpbir2and 893 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  (  -oo  <  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   RRcr 8616    +oocpnf 8744    -oocmnf 8745   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748
This theorem is referenced by:  xrrege0  10381  supxrre  10524  infmxrre  10532  caucvgrlem  12022  pcgcd1  12803  tgioo  18134  ovolunlem1a  18687  ovoliunlem1  18693  ioombl1lem2  18748  itg2monolem2  18938  dvferm1lem  19163  radcnvle  19628  psercnlem1  19633  nmobndi  21183  ubthlem3  21281  nmophmi  22441  bdophsi  22506  bdopcoi  22508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753
  Copyright terms: Public domain W3C validator