HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8286
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8285 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 823 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 834 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8258 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 517 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7227 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8252 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8279 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1384 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 526 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 758 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 480 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 813 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 988 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 209   /\ wa 418   e. wcel 1594   class class class wbr 3509  RRcr 7105   <_ cle 7214   +oocpnf 7215   -oocmnf 7216  RR*cxr 7217   < clt 7218
This theorem is referenced by:  tgioo 10775  nmobndi 11330  ubthlem3 11429  nmophmi 13065  bdophsi 13128  bdopcoi 13130  ovollecl 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-15 1966  ax-ext 2074  ax-rep 3599  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pow 3655  ax-pr 3679  ax-un 3947  ax-inf2 6137  ax-resscn 7160  ax-1cn 7161  ax-icn 7162  ax-addcl 7163  ax-addrcl 7164  ax-mulcl 7165  ax-mulrcl 7166  ax-mulcom 7167  ax-addass 7168  ax-mulass 7169  ax-distr 7170  ax-i2m1 7171  ax-1ne0 7172  ax-1rid 7173  ax-rnegex 7174  ax-rrecex 7175  ax-cnre 7176  ax-pre-lttri 7177  ax-pre-lttrn 7178  ax-pre-ltadd 7179  ax-pre-mulgt0 7180  ax-pre-sup 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3or 1038  df-3an 1039  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-csb 2745  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-pss 2812  df-nul 3066  df-if 3166  df-pw 3222  df-sn 3237  df-pr 3238  df-tp 3240  df-op 3241  df-uni 3365  df-int 3399  df-iun 3437  df-br 3510  df-opab 3568  df-tr 3583  df-eprel 3762  df-id 3765  df-po 3770  df-so 3782  df-fr 3800  df-we 3816  df-ord 3832  df-on 3833  df-lim 3834  df-suc 3835  df-om 4104  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fn 4160  df-f 4161  df-f1 4162  df-fo 4163  df-f1o 4164  df-fv 4165  df-opr 5069  df-oprab 5070  df-mpt 5202  df-mpt2 5203  df-1st 5268  df-2nd 5269  df-iota 5374  df-rdg 5460  df-er 5637  df-map 5705  df-en 5752  df-dom 5753  df-sdom 5754  df-riota 5896  df-sup 6059  df-pnf 7219  df-mnf 7220  df-xr 7221  df-ltxr 7222  df-le 7223  df-sub 7347  df-neg 7349  df-div 7564  df-n 7769  df-n0 8005  df-z 8044  df-uz 8143  df-q 8217
Copyright terms: Public domain