HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8200
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8199 . . 3 |- (A e. RR* -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
21ad2antrr 712 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> (A e. RR <-> ( -oo < A /\ A < +oo)))
3 simprl 723 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> -oo < A)
4 ltpnf 8172 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B < +oo)
54adantl 453 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> B < +oo)
6 rexr 7128 . . . . . 6 |- (B e. RR -> B e. RR*)
7 pnfxr 8166 . . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8 xrlelttr 8193 . . . . . . 7 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
97, 8mp3an3 1246 . . . . . 6 |- ((A e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
106, 9sylan2 461 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> ((A <_ B /\ B < +oo) -> A < +oo))
115, 10mpan2d 658 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR) -> (A <_ B -> A < +oo))
1211imp 421 . . 3 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ A <_ B) -> A < +oo)
1312adantrl 702 . 2 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A < +oo)
142, 3, 13mpbir2and 874 1 |- (((A e. RR* /\ B e. RR) /\ ( -oo < A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 174   /\ wa 361   e. wcel 1436   class class class wbr 3363  RRcr 7006   <_ cle 7115   +oocpnf 7116   -oocmnf 7117  RR*cxr 7118   < clt 7119
This theorem is referenced by:  supxrre 8247  infmxrre 8254  caucvglem 9252  tgioo 11469  nmobndi 11908  ubthlem3 12006  ovollecl 12120  ovolunlem1 12132  ovoliunlem1 12136  ioombl1lem2 12185  itg2lecl 12330  itg2monolem2 12343  nmophmi 14095  bdophsi 14160  bdopcoi 14162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3449  ax-sep 3459  ax-nul 3468  ax-pow 3504  ax-pr 3528  ax-un 3800  ax-inf2 6079  ax-resscn 7061  ax-1cn 7062  ax-icn 7063  ax-addcl 7064  ax-addrcl 7065  ax-mulcl 7066  ax-mulrcl 7067  ax-mulcom 7068  ax-addass 7069  ax-mulass 7070  ax-distr 7071  ax-i2m1 7072  ax-1ne0 7073  ax-1rid 7074  ax-rnegex 7075  ax-rrecex 7076  ax-cnre 7077  ax-pre-lttri 7078  ax-pre-lttrn 7079  ax-pre-ltadd 7080  ax-pre-mulgt0 7081  ax-pre-sup 7082
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-nel 2059  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3010  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3219  df-iun 3291  df-br 3364  df-opab 3418  df-tr 3433  df-eprel 3613  df-id 3616  df-po 3621  df-so 3635  df-fr 3654  df-we 3670  df-ord 3686  df-on 3687  df-lim 3688  df-suc 3689  df-om 3963  df-xp 4010  df-rel 4011  df-cnv 4012  df-co 4013  df-dm 4014  df-rn 4015  df-res 4016  df-ima 4017  df-fun 4018  df-fn 4019  df-f 4020  df-f1 4021  df-fo 4022  df-f1o 4023  df-fv 4024  df-ov 4929  df-oprab 4930  df-mpt 5065  df-mpt2 5066  df-1st 5174  df-2nd 5175  df-iota 5278  df-rdg 5364  df-er 5538  df-map 5626  df-en 5683  df-dom 5684  df-sdom 5685  df-riota 5826  df-sup 6000  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7249  df-neg 7251  df-div 7475  df-n 7714  df-n0 7884  df-z 7928  df-uz 8048  df-q 8130
Copyright terms: Public domain