HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem xrre 8215
Description: A way of proving that an extended real is real.
Assertion
Ref Expression
xrre

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 xrrebnd 8214 . . 3
21ad2antrr 708 . 2
3 simprl 719 . 2
4 ltpnf 8187 . . . . . 6
54adantl 449 . . . . 5
6 rexr 7143 . . . . . 6
7 pnfxr 8181 . . . . . . 7
8 xrlelttr 8208 . . . . . . 7
97, 8mp3an3 1237 . . . . . 6
106, 9sylan2 457 . . . . 5
115, 10mpan2d 654 . . . 4
1211imp 418 . . 3
1312adantrl 698 . 2
142, 3, 13mpbir2and 865 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wa 360   wcel 1427   class class class wbr 3362  cr 7021   cle 7130   cpnf 7131   cmnf 7132  cxr 7133   clt 7134
This theorem is referenced by:  supxrre 8262  infmxrre 8269  caucvglem 9272  tgioo 11737  nmobndi 12176  ubthlem3 12274  ovollecl 12388  ovolunlem1 12400  ovoliunlem1 12404  ioombl1lem2 12453  itg2lecl 12598  itg2monolem2 12611  nmophmi 14366  bdophsi 14431  bdopcoi 14433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1342  ax-6 1343  ax-7 1344  ax-gen 1345  ax-8 1429  ax-10 1430  ax-11 1431  ax-12 1432  ax-13 1433  ax-14 1434  ax-17 1441  ax-9 1456  ax-4 1462  ax-16 1640  ax-ext 1911  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6094  ax-resscn 7076  ax-1cn 7077  ax-icn 7078  ax-addcl 7079  ax-addrcl 7080  ax-mulcl 7081  ax-mulrcl 7082  ax-mulcom 7083  ax-addass 7084  ax-mulass 7085  ax-distr 7086  ax-i2m1 7087  ax-1ne0 7088  ax-1rid 7089  ax-rnegex 7090  ax-rrecex 7091  ax-cnre 7092  ax-pre-lttri 7093  ax-pre-lttrn 7094  ax-pre-ltadd 7095  ax-pre-mulgt0 7096  ax-pre-sup 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 361  df-an 362  df-3or 913  df-3an 914  df-tru 1320  df-ex 1347  df-sb 1602  df-eu 1829  df-mo 1830  df-clab 1917  df-cleq 1922  df-clel 1925  df-ne 2049  df-nel 2050  df-ral 2142  df-rex 2143  df-reu 2144  df-rab 2145  df-v 2337  df-sbc 2502  df-csb 2579  df-dif 2641  df-un 2643  df-in 2645  df-ss 2647  df-pss 2649  df-nul 2904  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-f1 4020  df-fo 4021  df-f1o 4022  df-fv 4023  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5070  df-mpt2 5071  df-1st 5187  df-2nd 5188  df-iota 5290  df-rdg 5376  df-er 5550  df-map 5638  df-en 5695  df-dom 5696  df-sdom 5697  df-riota 5839  df-sup 6015  df-pnf 7135  df-mnf 7136  df-xr 7137  df-ltxr 7138  df-le 7139  df-sub 7264  df-neg 7266  df-div 7490  df-n 7729  df-n0 7899  df-z 7943  df-uz 8063  df-q 8145
Copyright terms: Public domain