MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsex Unicode version

Theorem xrsex 16704
Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsex  |-  RR* s  e.  _V

Proof of Theorem xrsex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-xrs 13714 . 2  |-  RR* s  =  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. } )
2 tpex 4699 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  e.  _V
3 tpex 4699 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. }  e.  _V
42, 3unex 4698 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. } )  e. 
_V
51, 4eqeltri 2505 1  |-  RR* s  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310   ifcif 3731   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    e. cmpt2 6074   RR*cxr 9108    <_ cle 9110    - ecxne 10696   + ecxad 10697   x ecxmu 10698   ndxcnx 13454   Basecbs 13457   +g cplusg 13517   .rcmulr 13518  TopSetcts 13523   lecple 13524   distcds 13526  ordTopcordt 13709   RR* scxrs 13710
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  18391  xrslt  24186  xrsmulgzz  24188  xrstos  24189  xrsp0  24191  xrsp1  24192  pnfinf  24241  xrnarchi  24242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-nul 3621  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-uni 4008  df-xrs 13714
  Copyright terms: Public domain W3C validator