MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsex Structured version   Unicode version

Theorem xrsex 16721
Description: The extended real structure is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsex  |-  RR* s  e.  _V

Proof of Theorem xrsex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-xrs 13731 . 2  |-  RR* s  =  ( { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. } )
2 tpex 4711 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) , 
RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  e.  _V
3 tpex 4711 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. }  e.  _V
42, 3unex 4710 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  RR* >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  + e >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x e >. }  u.  {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  <_  ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) ) >. } )  e. 
_V
51, 4eqeltri 2508 1  |-  RR* s  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   ifcif 3741   {ctp 3818   <.cop 3819   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    - ecxne 10712   + ecxad 10713   x ecxmu 10714   ndxcnx 13471   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535  TopSetcts 13540   lecple 13541   distcds 13543  ordTopcordt 13726   RR* scxrs 13727
This theorem is referenced by:  imasdsf1olem  18408  xrslt  24203  xrsmulgzz  24205  xrstos  24206  xrsp0  24208  xrsp1  24209  pnfinf  24258  xrnarchi  24259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-rex 2713  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-nul 3631  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-uni 4018  df-xrs 13731
  Copyright terms: Public domain W3C validator