MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Unicode version

Theorem xrsupexmnf 10623
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { 
-oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo } ) )
2 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  {  -oo }  <->  y  =  -oo )
4 nltmnf 10468 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  -oo )
5 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -oo ) )
65notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 369 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 423 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2623 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3342 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) )
1514anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  {  -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2649 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 546 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2648 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150   {csn 3640   class class class wbr 4023    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867
This theorem is referenced by:  xrsupss  10627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator