MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Unicode version

Theorem xrsupexmnf 10617
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3317 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { 
-oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo } ) )
2 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 3656 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  {  -oo }  <->  y  =  -oo )
4 nltmnf 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  -oo )
5 breq2 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -oo ) )
65notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 371 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 425 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2624 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3343 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) )
1514anim1i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  {  -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2650 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 15 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2619 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 12 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 548 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2649 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    u. cun 3151   {csn 3641   class class class wbr 4024    -oocmnf 8860   RR*cxr 8861    < clt 8862
This theorem is referenced by:  xrsupss  10621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867
  Copyright terms: Public domain W3C validator