MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Unicode version

Theorem xrsupexmnf 10501
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3226 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { 
-oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo } ) )
2 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  {  -oo }  <->  y  =  -oo )
4 nltmnf 10347 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  -oo )
5 breq2 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -oo ) )
65notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 371 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 425 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2585 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3252 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) )
1514anim1i 554 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  {  -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2611 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 15 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2580 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 12 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 548 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2610 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    u. cun 3076   {csn 3544   class class class wbr 3920    -oocmnf 8745   RR*cxr 8746    < clt 8747
This theorem is referenced by:  xrsupss  10505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator