MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupexmnf Unicode version

Theorem xrsupexmnf 10670
Description: Adding minus infinity to a set does not affect the existence of its supremum. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupexmnf  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupexmnf
StepHypRef Expression
1 elun 3350 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { 
-oo } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo } ) )
2 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )
3 elsn 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  {  -oo }  <->  y  =  -oo )
4 nltmnf 10515 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  -oo )
5 breq2 4064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -oo ) )
65notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
74, 6syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  -oo  ->  -.  x  <  y ) )
83, 7syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y
) )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  {  -oo }  ->  -.  x  <  y ) )
102, 9jaod 369 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( (
y  e.  A  \/  y  e.  {  -oo }
)  ->  -.  x  <  y ) )
111, 10syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
y  e.  A  ->  -.  x  <  y ) )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) )
1211ex 423 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  x  <  y )  ->  ( y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  ->  -.  x  <  y ) ) )
1312ralimdv2 2657 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  ->  A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y ) )
14 elun1 3376 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) )
1514anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  <  z )  -> 
( z  e.  ( A  u.  {  -oo } )  /\  y  < 
z ) )
1615reximi2 2683 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y  <  z  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z )
1716imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  <  z
) )
1817ralimi 2652 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) )
1918a1i 10 . . 3  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
2013, 19anim12d 546 . 2  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) ) )
2120reximia 2682 1  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  u.  {  -oo } )  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ( A  u.  {  -oo } ) y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    u. cun 3184   {csn 3674   class class class wbr 4060    -oocmnf 8910   RR*cxr 8911    < clt 8912
This theorem is referenced by:  xrsupss  10674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917
  Copyright terms: Public domain W3C validator