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Theorem zbtwnre 10330
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 10328 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
2 zre 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
3 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
4 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
6 ltletr 8929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( x  - 
1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
75, 6syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( x  - 
1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
873expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  (
x  -  1 )  <  y ) )
92, 8sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  (
x  -  1 )  <  y ) )
10 zlem1lt 10085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  -  1 )  <  y ) )
1110adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_ 
y  <->  ( x  - 
1 )  <  y
) )
129, 11sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  -  1 )  <  A  /\  A  <_  y )  ->  x  <_  y ) )
1312exp4b 590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )
) ) )
1413com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )
) ) )
1514ralrimdv 2645 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  ->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
165ltnrd 8969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -.  ( x  -  1
)  <  ( x  -  1 ) )
17 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  ZZ )
18 zlem1lt 10085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( x  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( x  <_ 
( x  -  1 )  <->  ( x  - 
1 )  <  (
x  -  1 ) ) )
1917, 18mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  <_  ( x  -  1 )  <->  ( x  -  1 )  < 
( x  -  1 ) ) )
2016, 19mtbird 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -.  x  <_  ( x  - 
1 ) )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  -.  x  <_  ( x  - 
1 ) )
22 lenlt 8917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  -  1
)  e.  RR )  ->  ( A  <_ 
( x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  < 
A ) )
235, 22sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  (
x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  <  A ) )
2423ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  (
x  -  1 )  <->  -.  ( x  -  1 )  <  A ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( A  <_  ( x  - 
1 )  <->  -.  (
x  -  1 )  <  A ) )
26 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( A  <_  y  <->  A  <_  ( x  -  1 ) ) )
27 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  ( x  -  1 ) ) )
2826, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( A  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( A  <_  ( x  -  1 )  ->  x  <_  ( x  - 
1 ) ) ) )
2928rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) ) )
3017, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  -> 
( A  <_  (
x  -  1 )  ->  x  <_  (
x  -  1 ) ) )
3231adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( A  <_  ( x  - 
1 )  ->  x  <_  ( x  -  1 ) ) )
3325, 32sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  ( -.  ( x  -  1 )  <  A  ->  x  <_  ( x  - 
1 ) ) )
3421, 33mt3d 117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  ->  (
x  -  1 )  <  A )
3534ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  ->  ( x  -  1 )  < 
A ) )
3615, 35impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
37 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
38 ltsubadd 9260 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  A  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
3937, 38mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  x  <  ( A  + 
1 ) ) )
403, 39sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  A  <->  x  <  ( A  + 
1 ) ) )
4136, 40bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
4241ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  x  <  ( A  +  1 ) ) )
4342anbi2d 684 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A  <_  x  /\  x  < 
( A  +  1 ) ) ) )
4443reubidva 2736 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) ) )
451, 44mpbid 201 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  x  <  ( A  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  rebtwnz  10331  qbtwnre  10542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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