MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zeo2 Structured version   Unicode version

Theorem zeo2 10394
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 10325 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 9276 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cn 10108 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 10121 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
83, 5, 7divcan2d 9830 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
91, 5, 7divcan2d 9830 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
109oveq1d 6132 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
118, 10eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
12 zneo 10390 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1312expcom 426 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1413necon2bd 2660 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1511, 14syl5com 29 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
16 zeo 10393 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1716ord 368 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
1817con1d 119 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1915, 18impbid 185 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606  (class class class)co 6117   CCcc 9026   0cc0 9028   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033    / cdiv 9715   2c2 10087   ZZcz 10320
This theorem is referenced by:  zesq  11540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-n0 10260  df-z 10321
  Copyright terms: Public domain W3C validator