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Theorem zesq 11502
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 10287 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 sqval 11441 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
43oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( N  x.  N )  / 
2 ) )
5 2cn 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
7 2ne0 10083 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
91, 1, 6, 8divassd 9825 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  N
)  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
104, 9eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2 ) ) )
12 zmulcl 10324 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( N  /  2
) )  e.  ZZ )
1311, 12eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ )
141adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
15 sqcl 11444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N ^
2 )  e.  CC )
17 peano2cn 9238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1918halfcld 10212 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  CC )
2019, 14pncand 9412 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 ) )
21 binom21 11497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
2214, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
23 peano2cn 9238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
2414, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  + 
1 )  e.  CC )
25 sqval 11441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
27 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
285, 14, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
29 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3116, 28, 30add32d 9288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3222, 26, 313eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3332oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 ) )
345a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
357a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  =/=  0
)
3624, 24, 34, 35divassd 9825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3718, 28, 34, 35divdird 9828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  2 ) ) )
3814, 34, 35divcan3d 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
2 )  =  N )
3938oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4037, 39eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4133, 36, 403eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
42 peano2z 10318 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
43 zmulcl 10324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4442, 43sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4541, 44eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  e.  ZZ )
46 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4745, 46zsubcld 10380 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
4820, 47eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
4948ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5049con3d 127 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
51 zsqcl 11452 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
52 zeo2 10356 . . . . 5  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5351, 52syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
54 zeo2 10356 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5550, 53, 543imtr4d 260 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
5655imp 419 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ )
5713, 56impbida 806 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   ZZcz 10282   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  nnesq  11503  sqr2irrlem  12847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-exp 11383
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