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Theorem zesq 11457
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 10243 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 sqval 11396 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
43oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( ( N  x.  N )  / 
2 ) )
5 2cn 10026 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
7 2ne0 10039 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
91, 1, 6, 8divassd 9781 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  N
)  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
104, 9eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N ^ 2 )  /  2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2
) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  =  ( N  x.  ( N  /  2 ) ) )
12 zmulcl 10280 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( N  /  2
) )  e.  ZZ )
1311, 12eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ )
141adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
15 sqcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N ^
2 )  e.  CC )
17 peano2cn 9194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  1 )  e.  CC )
1918halfcld 10168 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  CC )
2019, 14pncand 9368 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 ) )
21 binom21 11452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
2214, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
23 peano2cn 9194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
2414, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  + 
1 )  e.  CC )
25 sqval 11396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  1 )  e.  CC  ->  (
( N  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 ) ^
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
27 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
285, 14, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
29 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3116, 28, 30add32d 9244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3222, 26, 313eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) ) )
3332oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  /  2 ) )
345a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
357a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  2  =/=  0
)
3624, 24, 34, 35divassd 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
2 )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3718, 28, 34, 35divdird 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  2 ) ) )
3814, 34, 35divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
2 )  =  N )
3938oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4037, 39eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
2 )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
4133, 36, 403eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  +  N ) )
42 peano2z 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
43 zmulcl 10280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4442, 43sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
4541, 44eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  e.  ZZ )
46 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
4745, 46zsubcld 10336 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  +  N )  -  N )  e.  ZZ )
4820, 47eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
4948ex 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( ( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5049con3d 127 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( ( N ^ 2 )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
51 zsqcl 11407 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ^ 2 )  e.  ZZ )
52 zeo2 10312 . . . . 5  |-  ( ( N ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5351, 52syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( ( N ^
2 )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
54 zeo2 10312 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5550, 53, 543imtr4d 260 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
5655imp 419 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( N  / 
2 )  e.  ZZ )
5713, 56impbida 806 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( ( N ^ 2 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  nnesq  11458  sqr2irrlem  12802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
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