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Theorem zetacvg 24368
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10414 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10204 . . 3  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 5988 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
6 ovex 6006 . . . . 5  |-  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5709 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
9 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
10 nncn 9901 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
12 nnne0 9925 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
14 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1514negcld 9291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1711, 13, 16cxpefd 20281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
189, 17eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1918fveq2d 5636 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
20 nnrp 10514 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2120relogcld 20196 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2221recnd 9008 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
23 mulcl 8968 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2415, 22, 23syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
25 absef 12685 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
27 remul 11821 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2815, 22, 27syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2914renegd 11901 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
3021rered 11916 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3129, 30oveqan12d 6000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3221reim0d 11917 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3332oveq2d 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
34 imcl 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3534recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3736mul01d 9158 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3833, 37sylan9eqr 2420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3931, 38oveq12d 5999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
4014recld 11886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4140renegcld 9357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4241recnd 9008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
43 mulcl 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4442, 22, 43syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4544subid1d 9293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4628, 39, 453eqtrd 2402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4746fveq2d 5636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4842adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4911, 13, 48cxpefd 20281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
5047, 49eqtr4d 2401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5119, 26, 503eqtrd 2402 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
528, 51eqtr4d 2401 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5311, 16cxpcld 20277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  e.  CC )
549, 53eqeltrd 2440 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
55 2rp 10510 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
56 1re 8984 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
57 resubcl 9258 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5856, 40, 57sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
59 rpcxpcl 20245 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6055, 58, 59sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6160rpcnd 10543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
62 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
63 recl 11802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6463recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6514, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6665addid2d 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6762, 66breqtrrd 4151 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
68 0re 8985 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 ltsubadd 9391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7056, 68, 69mp3an13 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7140, 70syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7267, 71mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
73 2re 9962 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
74 1lt2 10035 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
75 cxplt 20263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7673, 74, 75mpanl12 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7758, 68, 76sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7872, 77mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^ c  0 ) )
7960rprege0d 10548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
80 absid 11988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
82 2cn 9963 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
83 cxp0 20239 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  0 )  =  1 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^ c  0 )  =  1
8584eqcomi 2370 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^ c  0 )
8685a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^ c  0 ) )
8778, 81, 863brtr4d 4155 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
88 oveq2 5989 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
89 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
90 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9188, 89, 90fvmpt 5709 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9291adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9361, 87, 92geolim 12534 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
94 seqex 11212 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
95 ovex 6006 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9694, 95breldm 4986 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9793, 96syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
98 rpcxpcl 20245 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^ c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9920, 41, 98syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
10099rpred 10541 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1018, 100eqeltrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10299rpge0d 10545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^ c  -u ( Re `  S
) ) )
103102, 8breqtrrd 4151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
104 nnre 9900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
105104lep1d 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10620reeflogd 20197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
107 peano2nn 9905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnrpd 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
109108reeflogd 20197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
110105, 106, 1093brtr4d 4155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
111108relogcld 20196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
112 efle 12606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11321, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
115114adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11621adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
117107adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117nnrpd 10540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
119118relogcld 20196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
12040adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12168a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12256a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
123 0lt1 9443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
125121, 122, 40, 124, 62lttrd 9124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
127 lemul2 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128116, 119, 120, 126, 127syl112anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
129115, 128mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
130 remulcl 8969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13140, 21, 130syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
132 remulcl 8969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13340, 111, 132syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
134131, 133lenegd 9498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
135129, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
136111recnd 9008 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
137 mulneg1 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13865, 136, 137syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
139 mulneg1 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
14065, 22, 139syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
141135, 138, 1403brtr4d 4155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
142 remulcl 8969 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14341, 111, 142syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
144 remulcl 8969 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14541, 21, 144syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
146 efle 12606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147143, 145, 146syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
148141, 147mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
149 oveq1 5988 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
150 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
151149, 5, 150fvmpt 5709 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
152117, 151syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
153117nncnd 9909 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
154117nnne0d 9937 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
155153, 154, 48cxpefd 20281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156152, 155eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1578, 49eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
158148, 156, 1573brtr4d 4155 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15958recnd 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
160159adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
161 nn0re 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
162161adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
163162recnd 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
164160, 163mulcomd 9003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
165164oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16655a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
167166, 162, 160cxpmuld 20303 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
168 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
169 cxpexp 20237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
17082, 168, 169sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
171 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17265adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
173 negsub 9242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
174171, 172, 173sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
175174eqcomd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
176170, 175oveq12d 5999 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
177165, 167, 1763eqtrd 2402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17858adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
179166, 178, 163cxpmuld 20303 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^ c  m ) )
180 2nn 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
181 nnexpcl 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
182180, 181mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
184183nncnd 9909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
185183nnne0d 9937 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
186171a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18742adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
188184, 185, 186, 187cxpaddd 20286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )
189177, 179, 1883eqtr3d 2406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
190 cxpexp 20237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ m
) )
19161, 190sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
192184cxp1d 20275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
193192oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
194189, 191, 1933eqtr3d 2406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) )
195180, 168, 181sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
196 oveq1 5988 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
197 ovex 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5709 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
199195, 198syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
200199oveq2d 5997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
201194, 92, 2003eqtr4d 2408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
202101, 103, 158, 201climcnds 12518 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20397, 202mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2041, 3, 52, 54, 203abscvgcvg 12485 1  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   -ucneg 9185    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   RR+crp 10505    seq cseq 11210   ^cexp 11269   Recre 11789   Imcim 11790   abscabs 11926    ~~> cli 12165   expce 12551   logclog 20130    ^ c ccxp 20131
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  24385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-pi 12562  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132  df-cxp 20133
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