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Theorem zetacvg 23691
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10265 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10055 . . 3  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 5867 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
6 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5604 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
9 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
10 nncn 9756 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
12 nnne0 9780 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
14 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1514negcld 9146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1711, 13, 16cxpefd 20061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
189, 17eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1918fveq2d 5531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
20 nnrp 10365 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2120relogcld 19976 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2221recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
23 mulcl 8823 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2415, 22, 23syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
25 absef 12479 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
27 remul 11616 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2815, 22, 27syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2914renegd 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
3021rered 11711 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3129, 30oveqan12d 5879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3221reim0d 11712 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3332oveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
34 imcl 11598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3534recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3736mul01d 9013 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3833, 37sylan9eqr 2339 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3931, 38oveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
4014recld 11681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4140renegcld 9212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4241recnd 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
43 mulcl 8823 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4442, 22, 43syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4544subid1d 9148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4628, 39, 453eqtrd 2321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4746fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4842adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4911, 13, 48cxpefd 20061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
5047, 49eqtr4d 2320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5119, 26, 503eqtrd 2321 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
528, 51eqtr4d 2320 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5311, 16cxpcld 20057 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  e.  CC )
549, 53eqeltrd 2359 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
55 2rp 10361 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
56 1re 8839 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
57 resubcl 9113 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5856, 40, 57sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
59 rpcxpcl 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6055, 58, 59sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6160rpcnd 10394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
62 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
63 recl 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6463recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6514, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6665addid2d 9015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6762, 66breqtrrd 4051 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
68 0re 8840 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 ltsubadd 9246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7056, 68, 69mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7140, 70syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7267, 71mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
73 2re 9817 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
74 1lt2 9888 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
75 cxplt 20043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7673, 74, 75mpanl12 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7758, 68, 76sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7872, 77mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^ c  0 ) )
7960rprege0d 10399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
80 absid 11783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
82 2cn 9818 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
83 cxp0 20019 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  0 )  =  1 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^ c  0 )  =  1
8584eqcomi 2289 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^ c  0 )
8685a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^ c  0 ) )
8778, 81, 863brtr4d 4055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
88 oveq2 5868 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
89 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
90 ovex 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9188, 89, 90fvmpt 5604 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9291adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9361, 87, 92geolim 12328 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
94 seqex 11050 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
95 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9694, 95breldm 4885 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9793, 96syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
98 rpcxpcl 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^ c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9920, 41, 98syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
10099rpred 10392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1018, 100eqeltrd 2359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10299rpge0d 10396 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^ c  -u ( Re `  S
) ) )
103102, 8breqtrrd 4051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
104 nnre 9755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
105104lep1d 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10620reeflogd 19977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
107 peano2nn 9760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
109108reeflogd 19977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
110105, 106, 1093brtr4d 4055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
111108relogcld 19976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
112 efle 12400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11321, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
115114adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11621adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
117107adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117nnrpd 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
119118relogcld 19976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
12040adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12168a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12256a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
123 0lt1 9298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
125121, 122, 40, 124, 62lttrd 8979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
127 lemul2 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128116, 119, 120, 126, 127syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
129115, 128mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
130 remulcl 8824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13140, 21, 130syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
132 remulcl 8824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13340, 111, 132syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
134131, 133lenegd 9353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
135129, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
136111recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
137 mulneg1 9218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13865, 136, 137syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
139 mulneg1 9218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
14065, 22, 139syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
141135, 138, 1403brtr4d 4055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
142 remulcl 8824 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14341, 111, 142syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
144 remulcl 8824 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14541, 21, 144syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
146 efle 12400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147143, 145, 146syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
148141, 147mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
149 oveq1 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
150 ovex 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
151149, 5, 150fvmpt 5604 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
152117, 151syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
153117nncnd 9764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
154117nnne0d 9792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
155153, 154, 48cxpefd 20061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156152, 155eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1578, 49eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
158148, 156, 1573brtr4d 4055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15958recnd 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
160159adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
161 nn0re 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
162161adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
163162recnd 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
164160, 163mulcomd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
165164oveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16655a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
167166, 162, 160cxpmuld 20083 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
168 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
169 cxpexp 20017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
17082, 168, 169sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
171 ax-1cn 8797 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17265adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
173 negsub 9097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
174171, 172, 173sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
175174eqcomd 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
176170, 175oveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
177165, 167, 1763eqtrd 2321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17858adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
179166, 178, 163cxpmuld 20083 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^ c  m ) )
180 2nn 9879 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
181 nnexpcl 11118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
182180, 181mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
184183nncnd 9764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
185183nnne0d 9792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
186171a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18742adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
188184, 185, 186, 187cxpaddd 20066 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )
189177, 179, 1883eqtr3d 2325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
190 cxpexp 20017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ m
) )
19161, 190sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
192184cxp1d 20055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
193192oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
194189, 191, 1933eqtr3d 2325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) )
195180, 168, 181sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
196 oveq1 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
197 ovex 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5604 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
199195, 198syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
200199oveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
201194, 92, 2003eqtr4d 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
202101, 103, 158, 201climcnds 12312 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20397, 202mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2041, 3, 52, 54, 203abscvgcvg 12279 1  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4691   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   RR+crp 10356    seq cseq 11048   ^cexp 11106   Recre 11584   Imcim 11585   abscabs 11721    ~~> cli 11960   expce 12345   logclog 19914    ^ c ccxp 19915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-cxp 19917
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