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Theorem zetacvg 23096
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
zetacvg.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
zetacvg.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
Assertion
Ref Expression
zetacvg  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    S, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10259 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10049 . . 3  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 5827 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
6 ovex 5845 . . . . 5  |-  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5564 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  k )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
9 zetacvg.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( k  ^ c  -u S ) )
10 nncn 9750 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
12 nnne0 9774 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  =/=  0 )
14 zetacvg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
1514negcld 9140 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u S  e.  CC )
1711, 13, 16cxpefd 20055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
189, 17eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )
1918fveq2d 5490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
20 nnrp 10359 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2120relogcld 19970 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  RR )
2221recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  e.  CC )
23 mulcl 8817 . . . . . 6  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
2415, 22, 23syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC )
25 absef 12473 . . . . 5  |-  ( (
-u S  x.  ( log `  k ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( exp `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
27 remul 11610 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u S  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) )  =  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) ) )
2815, 22, 27syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( ( ( Re
`  -u S )  x.  ( Re `  ( log `  k ) ) )  -  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) ) ) )
2914renegd 11690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  -u S
)  =  -u (
Re `  S )
)
3021rered 11705 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Re `  ( log `  k ) )  =  ( log `  k
) )
3129, 30oveqan12d 5839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
3221reim0d 11706 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
Im `  ( log `  k ) )  =  0 )
3332oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  ( ( Im `  -u S )  x.  0 ) )
34 imcl 11592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  RR )
3534recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u S  e.  CC  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  -u S
)  e.  CC )
3736mul01d 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  -u S )  x.  0 )  =  0 )
3833, 37sylan9eqr 2338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Im `  -u S
)  x.  ( Im
`  ( log `  k
) ) )  =  0 )
3931, 38oveq12d 5838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  -u S
)  x.  ( Re
`  ( log `  k
) ) )  -  ( ( Im `  -u S )  x.  (
Im `  ( log `  k ) ) ) )  =  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 ) )
4014recld 11675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  RR )
4140renegcld 9206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  RR )
4241recnd 8857 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( Re `  S )  e.  CC )
43 mulcl 8817 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  CC  /\  ( log `  k
)  e.  CC )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4442, 22, 43syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  CC )
4544subid1d 9142 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  -  0 )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4628, 39, 453eqtrd 2320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  ( -u S  x.  ( log `  k
) ) )  =  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
4746fveq2d 5490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
4842adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
Re `  S )  e.  CC )
4911, 13, 48cxpefd 20055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
5047, 49eqtr4d 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( Re `  ( -u S  x.  ( log `  k ) ) ) )  =  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
5119, 26, 503eqtrd 2320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( k  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
528, 51eqtr4d 2319 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5311, 16cxpcld 20051 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u S
)  e.  CC )
549, 53eqeltrd 2358 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
55 2rp 10355 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
56 1re 8833 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
57 resubcl 9107 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR )  -> 
( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
5856, 40, 57sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR )
59 rpcxpcl 20019 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
1  -  ( Re
`  S ) )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6055, 58, 59sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR+ )
6160rpcnd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC )
62 zetacvg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  S ) )
63 recl 11591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  RR )
6463recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CC  ->  (
Re `  S )  e.  CC )
6514, 64syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Re `  S
)  e.  CC )
6665addid2d 9009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Re `  S ) )  =  ( Re
`  S ) )
6762, 66breqtrrd 4050 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S ) ) )
68 0re 8834 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 ltsubadd 9240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  S )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7056, 68, 69mp3an13 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  S )  e.  RR  ->  (
( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re
`  S ) ) ) )
7140, 70syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  1  <  ( 0  +  ( Re `  S
) ) ) )
7267, 71mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  <  0 )
73 2re 9811 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
74 1lt2 9882 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
75 cxplt 20037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  /\  ( ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7673, 74, 75mpanl12 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7758, 68, 76sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( Re `  S
) )  <  0  <->  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  <  ( 2  ^ c  0 ) ) )
7872, 77mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  <  (
2  ^ c  0 ) )
7960rprege0d 10393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
80 absid 11777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )  ->  ( abs `  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )  =  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  =  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
82 2cn 9812 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
83 cxp0 20013 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  0 )  =  1 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  ^ c  0 )  =  1
8584eqcomi 2288 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 2  ^ c  0 )
8685a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  =  ( 2  ^ c  0 ) )
8778, 81, 863brtr4d 4054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) )  <  1
)
88 oveq2 5828 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ n
)  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
89 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) )
90 ovex 5845 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  e.  _V
9188, 89, 90fvmpt 5564 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9291adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ m ) )
9361, 87, 92geolim 12322 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  ~~>  ( 1  / 
( 1  -  (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ) ) )
94 seqex 11044 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  _V
95 ovex 5845 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( 1  -  ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )  e.  _V
9694, 95breldm 4882 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 1  /  (
1  -  ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ) )  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) ^
n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9793, 96syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  )
98 rpcxpcl 20019 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u (
Re `  S )  e.  RR )  ->  (
k  ^ c  -u ( Re `  S ) )  e.  RR+ )
9920, 41, 98syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR+ )
10099rpred 10386 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  RR )
1018, 100eqeltrd 2358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  e.  RR )
10299rpge0d 10390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( k  ^ c  -u ( Re `  S
) ) )
103102, 8breqtrrd 4050 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 k ) )
104 nnre 9749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
105104lep1d 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
10620reeflogd 19971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  =  k )
107 peano2nn 9754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnrpd 10385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR+ )
109108reeflogd 19971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( k  +  1 ) )
110105, 106, 1093brtr4d 4054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
111108relogcld 19970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
112 efle 12394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
11321, 111, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( log `  k
)  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( exp `  ( log `  k
) )  <_  ( exp `  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
114110, 113mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  k )  <_ 
( log `  (
k  +  1 ) ) )
115114adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) ) )
11621adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
117107adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117nnrpd 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
119118relogcld 19970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
12040adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( Re
`  S )  e.  RR )
12168a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
12256a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
123 0lt1 9292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
124123a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
125121, 122, 40, 124, 62lttrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  S ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( Re `  S
) )
127 lemul2 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  k
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( Re `  S
)  e.  RR  /\  0  <  ( Re `  S ) ) )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  ( k  +  1 ) )  <->  ( (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
128116, 119, 120, 126, 127syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  k )  <_  ( log `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
129115, 128mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <_  (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
130 remulcl 8818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  k )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
13140, 21, 130syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
132 remulcl 8818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  RR  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
13340, 111, 132syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
134131, 133lenegd 9347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <_ 
( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <->  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
135129, 134mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
( Re `  S
)  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
136111recnd 8857 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
137 mulneg1 9212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )
13865, 136, 137syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) ) )
139 mulneg1 9212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  S
)  e.  CC  /\  ( log `  k )  e.  CC )  -> 
( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) )  =  -u ( ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) )
14065, 22, 139syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  =  -u ( ( Re `  S )  x.  ( log `  k ) ) )
141135, 138, 1403brtr4d 4054 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) )
142 remulcl 8818 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
14341, 111, 142syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
144 remulcl 8818 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  S )  e.  RR  /\  ( log `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
14541, 21, 144syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )
146 efle 12394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) )  e.  RR )  ->  ( ( -u ( Re `  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
147143, 145, 146syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u ( Re `  S )  x.  ( log `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( -u (
Re `  S )  x.  ( log `  k
) )  <->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) ) )
148141, 147mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( exp `  ( -u ( Re `  S
)  x.  ( log `  k ) ) ) )
149 oveq1 5827 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
150 ovex 5845 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
151149, 5, 150fvmpt 5564 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
152117, 151syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
153117nncnd 9758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
154117nnne0d 9786 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
155153, 154, 48cxpefd 20055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
156152, 155eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
1578, 49eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( -u ( Re
`  S )  x.  ( log `  k
) ) ) )
158148, 156, 1573brtr4d 4054 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  k
) )
15958recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
Re `  S )
)  e.  CC )
160159adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  CC )
161 nn0re 9970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
162161adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
163162recnd 8857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
164160, 163mulcomd 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m )  =  ( m  x.  (
1  -  ( Re
`  S ) ) ) )
165164oveq2d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  (
Re `  S )
) ) ) )
16655a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
167166, 162, 160cxpmuld 20077 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( m  x.  ( 1  -  ( Re `  S
) ) ) )  =  ( ( 2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) )
168 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
169 cxpexp 20011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
17082, 168, 169sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  m )  =  ( 2 ^ m ) )
171 ax-1cn 8791 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
17265adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( Re `  S )  e.  CC )
173 negsub 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Re `  S )  e.  CC )  -> 
( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )
174171, 172, 173sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u ( Re `  S ) )  =  ( 1  -  (
Re `  S )
) )
175174eqcomd 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  =  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )
176170, 175oveq12d 5838 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  m )  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) ) )
177165, 167, 1763eqtrd 2320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  ( 1  + 
-u ( Re `  S ) ) ) )
17858adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  ( Re `  S ) )  e.  RR )
179166, 178, 163cxpmuld 20077 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2  ^ c  ( ( 1  -  ( Re
`  S ) )  x.  m ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) )  ^ c  m ) )
180 2nn 9873 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
181 nnexpcl 11112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
182180, 181mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
183182adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
184183nncnd 9758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  CC )
185183nnne0d 9786 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  =/=  0 )
186171a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
18742adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  -u ( Re
`  S )  e.  CC )
188184, 185, 186, 187cxpaddd 20060 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  ( 1  +  -u ( Re `  S ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ m )  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )
189177, 179, 1883eqtr3d 2324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( ( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
190 cxpexp 20011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) )  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S
) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c 
( 1  -  (
Re `  S )
) ) ^ m
) )
19161, 190sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) )  ^ c  m )  =  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m ) )
192184cxp1d 20049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  ^ c  1 )  =  ( 2 ^ m ) )
193192oveq1d 5835 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ m
)  ^ c  1 )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
194189, 191, 1933eqtr3d 2324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) )
195180, 168, 181sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
196 oveq1 5827 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2 ^ m )  ->  (
n  ^ c  -u ( Re `  S ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
197 ovex 5845 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
)  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5564 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ m )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S
) ) ) `  ( 2 ^ m
) )  =  ( ( 2 ^ m
)  ^ c  -u ( Re `  S ) ) )
199195, 198syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `  (
2 ^ m ) )  =  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) )
200199oveq2d 5836 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) `  (
2 ^ m ) ) )  =  ( ( 2 ^ m
)  x.  ( ( 2 ^ m )  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )
201194, 92, 2003eqtr4d 2326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re
`  S ) ) ) ^ n ) ) `  m )  =  ( ( 2 ^ m )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) `
 ( 2 ^ m ) ) ) )
202101, 103, 158, 201climcnds 12306 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u (
Re `  S )
) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 2  ^ c  ( 1  -  ( Re `  S ) ) ) ^ n ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
20397, 202mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n  ^ c  -u ( Re `  S ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
2041, 3, 52, 54, 203abscvgcvg 12273 1  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    dom cdm 4688   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033   -ucneg 9034    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   RR+crp 10350    seq cseq 11042   ^cexp 11100   Recre 11578   Imcim 11579   abscabs 11715    ~~> cli 11954   expce 12339   logclog 19908    ^ c ccxp 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-cxp 19911
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