Theorem zfcndac 4894

Description: Axiom of Choice, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	|- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 4887	. . 3 |- E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
2		ax-17 1190	. . . . . . 7 |- ((z e. w /\ w e. x) -> A.y(z e. w /\ w e. x))
3	2	19.3 1007	. . . . . 6 |- (A.y(z e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x))
4	3	imbi1i 186	. . . . 5 |- ((A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
5	4	2albii 976	. . . 4 |- (A.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
6	5	exbii 1027	. . 3 |- (E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
7	1, 6	mpbi 189	. 2 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
8		equequ2 1122	. . . . . . . . . 10 |- (v = x -> (u = v <-> u = x))
9	8	bibi2d 616	. . . . . . . . 9 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x)))
10		elequ2 1124	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (w e. t <-> w e. x))
11	10	anbi2d 614	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. w /\ w e. t) <-> (u e. w /\ w e. x)))
12		elequ2 1124	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (u e. t <-> u e. x))
13		elequ1 1123	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (t e. y <-> x e. y))
14	12, 13	anbi12d 626	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. t /\ t e. y) <-> (u e. x /\ x e. y)))
15	11, 14	anbi12d 626	. . . . . . . . . . 11 |- (t = x -> (((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> ((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y))))
16	15	cbvexv 1297	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)))
17	16	bibi1i 607	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x))
18	9, 17	syl6bb 534	. . . . . . . 8 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
19	18	albidv 1260	. . . . . . 7 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
20		elequ1 1123	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. w <-> z e. w))
21	20	anbi1d 615	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x)))
22		elequ1 1123	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. x <-> z e. x))
23	22	anbi1d 615	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. x /\ x e. y) <-> (z e. x /\ x e. y)))
24	21, 23	anbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> ((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
25	24	exbidv 1261	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
26		equequ1 1121	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = x <-> z = x))
27	25, 26	bibi12d 627	. . . . . . . 8 |- (u = z -> ((E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
28	27	cbvalv 1296	. . . . . . 7 |- (A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
29	19, 28	syl6bb 534	. . . . . 6 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
30	29	cbvexv 1297	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
31	30	imbi2i 185	. . . 4 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
32	31	2albii 976	. . 3 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
33	32	exbii 1027	. 2 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
34	7, 33	mpbir 190	1 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-reg 4517  ax-ac 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-eprel 2794  df-fr 2880

Copyright terms: Public domain